Matriz de dispersão total (dentro da classe + entre classes) derivada

Eu estava brincando com os métodos PCA e LDA e estou em um ponto, sinto que é tão simples que não consigo vê-lo.

Matrizes de dispersão dentro da classe ( ) e entre classes ( S B ) são definidas como:$S_W$$S_B$

$$S_W = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i)(x_t^i - \mu_i)^T$$

$$S_B = \sum_{i=1}^CN(\mu_i-\mu)(\mu_i-\mu)^T$$

A matriz de dispersão total é dada como:$S_T$

$$S_T = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T = S_W + S_B$$

onde C é o número de classes e N é o número de amostras são amostras, μ i é a média da classe, μ é a média geral.$x$$\mu_i$$\mu$

Ao tentar derivar eu vim até um ponto onde eu tive:$S_T$

$$(x-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T + (\mu_i-\mu)(x-\mu_i)^T$$

como um termo. Isso precisa ser zero, mas por quê?

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De fato:

$$\begin{align} S_T &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T \\ &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)^T \\ &= S_W + S_B + \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N\big[(x_t^i - \mu_i)(\mu_i - \mu)^T + (\mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i)^T\big] \end{align}$$

Se você assumir

$$\frac{1}{N}\sum_{t=1}^Nx_t^{i}=\mu_i$$

Então

$$\sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T=\sum_{i=1}^C\left(\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)\right)(\mu_i-\mu)^T=0$$

e fórmula vale. Você lida com o segundo termo da mesma maneira.