Estou fazendo mestrado em estatística e sou aconselhado a aprender geometria diferencial. Eu ficaria mais feliz em ouvir sobre aplicações estatísticas para geometria diferencial, pois isso me deixaria motivado. Alguém conhece aplicações para geometria diferencial em estatística?
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Respostas:
Dois livros canônicos sobre o assunto, com resenhas, depois duas outras referências:
Geometria Diferencial e Estatística , MK Murray, JW Rice
Métodos de Geometria da Informação , S.-I. H. Nagaoka Amari
Geometria diferencial em inferência estatística , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen e CR Rao, notas da aula do IMS Monogr. Ser. Volume 10, 1987, 240 pp.
O papel da geometria diferencial na teoria estatística , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox e N. Reid, International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique, vol. 54, n. 1 (abril de 1986), pp. 83-96
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A geometria Riemanniana é usada no estudo de campos aleatórios (uma generalização de processos estocásticos), onde o processo não precisa ser estacionário. A referência que estou estudando é dada abaixo com duas revisões. Existem aplicações em oceanografia, astrofísica e imagens cerebrais.
Campos Aleatórios e Geometria , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.
http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691
Avaliações:
"Este livro apresenta a teoria moderna das probabilidades de excursões e a geometria dos conjuntos de excursões para ... campos aleatórios definidos em variedades. ... O livro é compreensível para os alunos ... com uma boa experiência em análise. ... A natureza interdisciplinar deste livro , a beleza e a profundidade da teoria matemática apresentada a tornam uma parte indispensável de toda biblioteca matemática e uma estante de livros de todos os probabilistas interessados em processos gaussianos, campos aleatórios e suas aplicações estatísticas ". (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Vol. 1149, 2008)
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Uma área da estatística / matemática aplicada em que a geometria diferencial é usada de maneira essencial (juntamente com muitas outras áreas da matemática!) É a teoria dos padrões . Você pode dar uma olhada no livro de Ulf Grenander: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 ou no texto um pouco mais acessível de David Mumford (um vencedor da medalha de campo): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_rd=i=156881579ZWDpDME = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59
Do prefácio do último texto:
Um exemplo em que a geometria diferencial é usada é para modelos de face.
Tentando responder à pergunta (nos comentários) de @whuber, veja o capítulo 16 do livro de Grenander, com o título "anatomia computacional". Existem variedades para representar várias partes da anatomia humana (como a lareira), e difeomorfismos são usados para representar alterações dessas variedades anatômicas, permitindo a comparação, modelagem do crescimento, modelagem da ação de alguma doença. Essas idéias remontam ao monumental tratado de D'Arcy Thompson "sobre crescimento e forma" de 1917!
Grenander continua citando esse tratado:
O exemplo mais conhecido dessas idéias é quando alguma criança desapareceu, digamos, três anos atrás, e uma publica uma foto de seu rosto, transformada (geralmente usando splines), na aparência que ela pode ter hoje.
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