Notação para modelagem multinível

A fórmula que você precisa especificar para treinar um modelo multinível (usando lmerda lme4 Rbiblioteca) sempre me entende. Eu li inúmeros livros e tutoriais, mas nunca entendi direito.

Então, aqui está um exemplo deste tutorial que eu gostaria de ver formulado em uma equação. Estamos tentando modelar a frequência da voz em função do gênero (as mulheres têm voz mais aguda do que os homens em geral) e da atitude da pessoa (respondendo de forma educada ou informal) em diferentes cenários. Além disso, como você pode ver na subjectcoluna, cada pessoa foi submetida a medições várias vezes.

> head(politeness, n=20)
   subject gender scenario attitude frequency
1       F1      F        1      pol     213.3
2       F1      F        1      inf     204.5
3       F1      F        2      pol     285.1
4       F1      F        2      inf     259.7
5       F1      F        3      pol     203.9
6       F1      F        3      inf     286.9
7       F1      F        4      pol     250.8
8       F1      F        4      inf     276.8
9       F1      F        5      pol     231.9
10      F1      F        5      inf     252.4
11      F1      F        6      pol     181.2
12      F1      F        6      inf     230.7
13      F1      F        7      inf     216.5
14      F1      F        7      pol     154.8
15      F3      F        1      pol     229.7
16      F3      F        1      inf     237.3
17      F3      F        2      pol     236.8
18      F3      F        2      inf     251.0
19      F3      F        3      pol     267.0
20      F3      F        3      inf     266.0

subject, gendere attitudesão fatores (com informale femaleconsiderados como níveis básicos para attitudee gendernas equações abaixo). Agora, uma idéia é treinar um modelo com interceptações diferentes para cada um subjecte scenario:

politeness.model=lmer(frequency ~ attitude + gender + 
 (1|subject) + (1|scenario), data=politeness)

Se meu entendimento da notação estiver correto, isso corresponderá a:

$y_i=a^1_{j[i]}+a^2_{k[i]}+\beta\cdot$ attitude$_{\text{pol}_i} + \gamma\cdot$ gender$_{\text{male}_i}$

$i$$i^{th}$$j[i]$subject$k[i]$scenario$i^{th}$attitude$_\text{pol}$gender$_\text{male}$

Para introduzir pistas aleatórias de atitude, podemos escrever:

politeness.model = lmer(frequency ~ attitude + gender + 
 (1+attitude|subject) + (1+attitude|scenario), data=politeness)

Novamente, se meu entendimento for claro, isso corresponde a:

$y_i = a^1_{j[i]} + a^2_{k[i]} + (\beta^1_{j[i]} + \beta^2_{k[i]})\cdot$ attitude$_{\text{pol}_i} + \gamma\cdot$ gender$_{\text{male}_i}$

Agora, a que equação o Rcomando a seguir corresponde?

politeness.null = lmer(frequency ~ gender +
 (1+attitude|subject) +  (1+attitude|scenario), data=politeness)

eu escreveria

~ attitude + gender + (1|subject) + (1|scenario)

Como

$$y_i \sim \beta_0 + \beta_1 \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + b_{1,j[i]} + b_{2,k[i]} + \epsilon_i \\ b_1 \sim N(0,\sigma^2_1) \\ b_2 \sim N(0,\sigma^2_2) \\ \epsilon \sim N(0,\sigma^2_r)$$ $\beta$$b$$I$

~ attitude + gender + (1+attitude|subject) + (1+attitude|scenario)

acrescenta variação entre-sujeitos em resposta a attitudee scenario(pudemos equivalentemente escrever a parte de efeitos aleatórios como (attitude|subject) + (attitude|scenario), isto é, deixando a interseção implícita, esta é uma questão de gosto). Agora

$$y_i \sim \beta_0 + \beta_1 \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + \\ b_{1,j[i]} + b_{3,j[i]} I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + b_{2,k[i]} + b_{4,k[i]} I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \epsilon_i \\ \{b_1,b_3\} \sim \textrm{MVN}({\mathbf 0},\Sigma_1) \\ \{b_2,b_4\} \sim \textrm{MVN}({\mathbf 0},\Sigma_2) \\ \epsilon \sim N(0,\sigma^2_r)$$ $\Sigma_1$$\Sigma_2$ $$\Sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} \sigma^2_1 & \sigma_{13} \\ \sigma_{13} & \sigma^2_3 \end{array} \right)$$ $\Sigma_2$

$$y_i \sim (\beta_0 + b_{1,j[i]} + b_{2,k[i]}) + \\ ( \beta_1 + b_{3,j[i]} + b_{4,k[i]}) \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + \epsilon_i$$

attitude$\beta_1=0$attitude