E se as probabilidades não forem iguais na "Regra .632?"

Esta pergunta é derivada desta sobre a "regra .632". Estou escrevendo com referência particular à resposta / notação do user603 na medida em que simplifica as coisas.

Essa resposta começa com uma amostra do tamanho $n,$ com substituição, de $n$ itens distintos na coleção (chame) de N. A probabilidade de que a $i^{th}$ amostra $s_i$ seja diferente de um determinado elemento $m$ de N é então $(1 - 1/n).$

Nesta resposta, todos os elementos de N têm igual chance de serem sorteados aleatoriamente.

Minha pergunta é a seguinte: suponha que, na pergunta acima, os itens a serem desenhados sejam tais que sejam distribuídos normalmente. Ou seja, subdividimos a curva normal padrão de $Z = -4$ a $Z = 4$ em (digamos) 100 subintervalos de comprimento igual. Cada um dos 100 itens em N tem uma probabilidade de ser desenhada igual à área subtendida pela curva em seu respectivo intervalo.

Meu pensamento foi o seguinte:

O raciocínio é semelhante ao da resposta vinculada, eu acho. A probabilidade de que $s_i \ne m$ , com $m$ um elemento de N, é $P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$ na qual $F_i$ é a probabilidade de desenhar $s_i.$

A probabilidade de um elemento m específico estar na amostra S de tamanho n é

= 1 - n ∏ 1 ( 1 - F i )

$$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$$ $$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$$

Um cálculo parece mostrar que, à medida que o comprimento dos subintervalos diminui, a resposta converge para o mesmo número que no primeiro caso (probabilidades de todas iguais).$s_i$

Isso parece contra-intuitivo (para mim) porque a construção parece incluir elementos de N que são raros, então eu esperaria um número menor que 0,632.

Além disso, se isso estiver correto, acho que teríamos

$$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$$

que ainda não sei como verdadeiro ou falso.

Edit: Se for verdade, provavelmente generalizaria alguns.

Obrigado por qualquer insight.

A pergunta é sobre o comportamento limitante da

$$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$$

à medida que cresce e o encolhe uniformemente de tal maneira que (a) todos são não negativos e (b) somam à unidade. (Eles decorrem da construção do e dos axiomas da probabilidade.)F i F $n$$F_i$ $F_i$

Por definição, este produto é o exponencial de seu logaritmo:

$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$$

O Teorema de Taylor (com a forma Lagrange do restante) , aplicado a , estabelece que$\log$

$$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$$

para alguns no intervalo . Em outras palavras, esses logaritmos são iguais a até termos que são no máximo vezes . Mas quando é grande o suficiente para garantir que todos os sejam menores que alguns (uma condição assegurada pelo encolhimento uniforme de ), então (b) implica e portanto$\phi_i$$[0, F_i]$$-F_i$ $1/2$$F_i^2$$n$$F_i$$\epsilon\gt 0$$F_i$$n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

$$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$$

Consequentemente

$$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$$

espremer o logaritmo entre duas seqüências convergindo para . Como é contínuo, o produto converge para o exponencial desse limite, . Consequentemente$-1$$\exp$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$$\exp(-1)$

$$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$$

QED .

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Uma análise mais detalhada dessa análise estabelece que o erro nessa aproximação (que sempre será um limite inferior ) não é maior em tamanho que Por exemplo, a divisão de uma distribuição normal padrão em fatias entre e produz um máximo próximo ao modo , onde será aproximadamente igual à área de um retângulo, . . O limite anterior estabelece que o valor da fórmula estará dentro de do seu valor limite. O erro real é uma ordem de magnitude menor,n=400-44 F i 0exp(-1 / 2) / 50≈0,012(1)0,0110,001041 f i

$$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$$ $n=400$$-4$$4$$F_i$$0$$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$$(1)$$0.011$$0.001041$ . Aqui está o cálculo R( no qual podemos confiar, porque nenhum dos é verdadeiramente pequeno em relação a ):$f_i$$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

De fato, 1 - prod(1-f)é enquanto é .1 - exp ( - 1 ) 0,6321206 $0.6331615\ldots$$1-\exp(-1)$$0.6321206\ldots$