A pista está na pergunta: Nome de domínio. Para que isso seja resolvido, você precisará de um servidor local que resolva isso para você, em vez de passar a solicitação para a Internet.
Opção 1:
configure um servidor DNS local usado por todos os seus computadores. Este servidor DNS possui uma entrada para o seu Pi, para que quaisquer solicitações ao seu nome de domínio / nome de host resultem na pesquisa de um IP local. Quaisquer outros pedidos são passados para o upstream.
Opção 2:
se o seu roteador / gateway (presumindo que você tenha um) o suporta, você pode agir como o servidor DNS mencionado na Opção 1.
Opção 3:
você pode editar o arquivo hosts para incluir uma entrada para o seu Pi. Isso terá que ser feito em todos os outros computadores da rede que também desejem fazer a mesma pesquisa.
Era uma vez eu mesmo fiz a opção 1. Eu já tinha um servidor da Web com DNS em execução, então era simples adicionar apenas outra entrada. Atualmente, estou usando a opção 3.
PS: Também pode haver outras alternativas específicas da plataforma disponíveis.