Absolutamente possível. Você precisa configurar suas rotas corretamente para fazer isso. Você deseja que sua rota padrão passe pelo eth1 ; portanto, sua tabela de roteamento deve ficar assim:
$ /sbin/route
Kernel IP routing table
Destination Gateway Genmask Flags Metric Ref Use Iface
10.10.19.0 * 255.255.255.0 U 0 0 0 eth0
192.168.1.0 * 255.255.255.0 U 0 0 0 eth1
default 192.168.1.1 0.0.0.0 UG 0 0 0 eth1
O Windows parecerá um pouco semelhante (com variações de formatação, é claro) usando o route printcomando
Você pode configurar as rotas dinamicamente com os routecomandos em qualquer plataforma. Não tenho certeza de quais opções de configuração você precisa definir como padrão (e a outra como não padrão, obviamente) ... serão editadas com essas informações.
Editar : se você estiver trabalhando com os gerenciadores de rede GNOME ou KDE GUI, procure a opção "definir esta interface como padrão" na configuração do seu eth1dispositivo.
Se você estiver configurando /etc/network/interfacesmanualmente, dê uma olhada nos exemplos deste HOWTO . Em particular, a upopção permite executar comandos após o surgimento de uma interface. No seu caso, pode ser necessário usá-lo para executar um comando de exclusão de rota em uma rota padrão extra ou para executar uma adição de rota se nenhuma das suas interfaces se definir como uma rota padrão:
# example /etc/network/interfaces
# replace the IP addresses in the route-del and route-add commands below
# with those appropriate to your network
auto eth0
iface eth0 inet dhcp
up route del default gw 10.10.19.1
# runs a route-delete if dhcp adds a default gateway for this interface
auto eth1
iface eth1 inet dhcp
up route add default gw 192.168.1.1
# runs a route-add if dhcp neglects to add a default gateway for this interface
