Qual é a forma (ao longo do plano, não de cima para baixo) de órbitas estelares em galáxias planas em espiral

O que quero dizer é que, com uma órbita de massa central, são relativamente simples, mas as órbitas ao redor da galáxia são diferentes, em essência, como a estrela orbita através do halo da matéria escura, quanto mais ela se afasta do centro da galáxia, maior o campo gravitacional. portanto, enquanto as órbitas tendem a desacelerar à medida que a energia cinética é transformada em energia potencial, as estrelas estão efetivamente orbitando em torno de mais massa quanto mais distantes estiverem do centro da galáxia, o que pode acelerá-las. A regra de áreas iguais em tempo igual parece não se aplicar mais.

Então, ignorando o movimento para cima e para baixo em relação ao plano da galáxia, existe uma forma comum para as órbitas galácticas? Existe uma fórmula? Acho que a excentricidade ainda se aplicaria, mas não acho que as órbitas seriam elipses, então seria um tipo diferente de excentricidade. Essas órbitas tenderiam a circular (em uma nuvem ideal de matéria escura, ignorando perturbações. Obviamente, perturbações levariam a, no sentido prático, órbitas imprevisíveis, não a fórmulas limpas e organizadas. O campo magnético da Via Láctea também desempenha um papel na formação de seus braços espirais, mas estou perguntando, em um sentido matemático ideal, que forma as órbitas seriam através de uma galáxia, de um ponto de vista 2D, ignorando o movimento para cima e para baixo.

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Ocorreu-me que a pergunta poderia ser feita mais simplesmente por um buraco negro em efeito "orbitando" através de um planeta ou mesmo por um neutrino de baixa velocidade (se houver neutrinos de baixa velocidade). O interior da órbita de um planeta é bem diferente da órbita de Kepler, porque a gravidade aumenta à medida que o objeto se afasta do centro. A órbita geral ainda pode ser um pouco como uma elipse, mas as leis para tal órbita seriam diferentes, você veria a aceleração mais alta nos pontos mais distantes do centro, embora você provavelmente ainda visse a velocidade mais alta no ponto mais próximo da Centro.

De qualquer forma, estou curioso para saber se essas formas foram trabalhadas e como elas são.

Essa é uma pergunta interessante e, muitas vezes, perguntas interessantes não podem ser facilmente respondidas com nenhum conhecimento atual, mas essa pode ser respondida até certo ponto. Vou percorrer os conceitos básicos da teoria orbital e descrever como eles podem se aplicar às galáxias e como ela difere dos sistemas Keplerianos. Você deve ter uma compreensão razoável da física newtoniana (afinal todas as órbitas derivam precisamente das leis de Newton) e um forte conhecimento de matemática. Se você não tiver essas coisas, pule para o final de cada seção, onde tentarei resumir os pontos importantes por trás da matemática.

Uma observação rápida sobre a notação matemática que usarei. Um ponto sobre um símbolo indica uma derivada de tempo (por exemplo, ) e símbolos em negrito sem itálico são quantidades vetoriais (por exemplo, F ). Vamos ao que interessa.$\dot{a}$$\bf F$

A equação orbital do movimento

Considere uma massa como uma posição re movendo-se com um movimento descrito por ˙ r . Essa massa experimenta uma força F ( r ) que é apenas uma função da distância radial, r , do centro do sistema de coordenadas. O objetivo aqui é determinar a equação do movimento que pode descrever a órbita da massa devido a essa força. Essa equação pode ser usada para resolver r ( θ ) . Pela lei de Newton, a equação do movimento pode ser inicialmente definida como$m$$\bf r$$\bf \dot{r}$$\textbf{F}(r)$$r$$r(\theta)$

$$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$$

Note-se que, neste caso, é simplesmente o componente radial do r e θ é o ângulo azimutal do corpo em um sistema de coordenada esférica. Vou deixar para você determinar como quebrar a aceleração nos dois componentes acima, sob o sistema de coordenadas apropriado. Vamos tentar remover nossa dependência θ para que tenhamos apenas uma função de r . Isso pode ser alcançado usando a conservação do momento angular. O momento angular por unidade de massa é dado por ℓ = r 2 ˙ θ de modo que ˙ θ = ℓ / r 2 . Isto dá$r$$\bf r$$\theta$$\theta$$r$$\ell = r^2\dot{\theta}$$\dot{\theta} = \ell/r^2$

$$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$$

Agora, essa é uma equação diferencial que nos permite resolver , mas queremos r ( θ ), portanto precisamos fazer alguma conversão. Vamos parametrizar definindo u ≡ 1 / r (a razão ficará clara em breve) e determinando ¨ r em termos de u e θ .$r(t)$$r(\theta)$$u \equiv 1/r$$\ddot{r}$$u$$\theta$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$$

$\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$$\ddot{r}$

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$$

$r=1/u$

$$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$$

Escrevendo de uma forma mais conveniente, finalmente chegamos a

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$$

$m$$u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$$\ell$$\bf F$$r$$\theta$

$u(\theta)$$r(\theta)$

Movimento Kepleriano

$m$$M$$F(r) = kr^{-2}$$F(1/u) = ku^2$$k\equiv GMm$$G$é a constante gravitacional. A equação orbital geral, sob essa força, agora se torna

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$$

Esta é uma equação diferencial não-homogênea padrão de segunda ordem, com uma função de força constante. Se você conhece o seu Diff EQ, deve conhecer a solução quase imediatamente.

$$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$$

$A$$\theta_0$$r(\theta)$$k = GMm$$L = \ell\mu$$\mu$$e = A(m\ell^2/k)$$e$

$$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$$

$M$$e$$e = 0$$r(\theta)$$0 < e <1$$e=1$$e > 1$

$F\propto r^{-2}$$F \not \propto r^{-2}$$P^2 \propto a^3$

Movimento orbital em uma galáxia

Sua pergunta descreve corretamente a situação de estrelas (ou qualquer coisa realmente) que orbitam em uma galáxia. Estrelas não estão orbitando massas centrais, pontuais. Eles estão embutidos na matéria bariônica e escura que compreende a galáxia e estão orbitando através dela. É um conceito bem conhecido na física que as distribuições de massa esfericamente simétricas não exercem uma atração gravitacional líquida sobre objetos internos a essa distribuição, o que significa que, para estrelas em uma galáxia, a massa que afeta sua órbita é a massa interior de seu raio. Se esse raio mudar, a massa mudará!

$M_r$$F(r) = GM_r(r)m/r^2$

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$$

$r$$r$$\rho(r)$

Já expus todas as etapas necessárias para descobrir o movimento orbital em uma galáxia, mas devo dizer que não é bonito. Podemos considerar parte do caso mais simples, o do SIS.

Esfera isotérmica única

$\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$$v$$-$$v$é constante e não depende do raio! (Supondo que não estamos perto da protuberância ou centro galáctico. Essa é uma fera totalmente diferente.)

$M_r$$\rho(r)$

$$M_r = \frac{v^2r}{G}$$

Isso significa que sua força é dada por

$$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$$

$r^{-1}$$r^{-2}$

Se você é tão inclinado, pode optar por inserir isso na equação orbital do movimento acima e resolvê-lo, mas agora está trabalhando com uma equação diferencial não linear e as coisas podem ficar confusas rapidamente.

Punchline : Não tenho certeza se isso realmente responde à sua pergunta ou não. Guiei você parcialmente pela toca do coelho, mas espero que você possa apreciar o quão complexo fica rapidamente. Todo o trabalho acima utilizava suposições e simplificações amplas. Suponho que a resposta curta para tudo isso é que as estrelas orbitam galáxias em uma órbita complexa, porém fechada, que não é facilmente descrita com precisão (mesmo para a nossa galáxia) por meio de equações calculáveis. Podemos aproximar e fazer o possível para trabalhar com a matemática, mas no final é uma aproximação. Nas aproximações mais grosseiras, no entanto, você pode considerar uma órbita como a nossa estrela circular e acabar com ela.