Existe um limite para massas L4 ou L5 estáveis?

L4 e L5, o Lagrange aponta 60 graus à frente e atrás de um corpo em órbita, são famosos por serem estáveis.

Um exemplo bem conhecido são os aseroides Trojan no Sun Jupiter L4 e L5. Balançando a cabeça para esses corpos, rotulo a massa central S, a massa orbital J e a massa L4 T:

Dizem que S / J precisa ser igual ou superior a 24,96 para que o sistema seja estável . Para um sistema estável, existe um limite em J, não pode ser superior a 4% de S.

Minha pergunta: existe um limite para a massa T? Se T fosse tão grande quanto J, o sistema ainda poderia ser estável?

A hipótese do impacto gigante , uma teoria de como a lua foi criada, diz que, uma vez que excede 10% da massa do seu 'J', a órbita de um L4 ou L5 (seu 'T') desestabiliza.

Possível origem de Theia

Em 2004, o matemático Edward Belbruno da Universidade de Princeton e o astrofísico J. Richard Gott III propuseram que Theia se unisse no ponto Lagrangiano L4 ou L5 em relação à Terra (quase na mesma órbita e cerca de 60 ° à frente ou atrás), semelhante a um asteróide trojan. Modelos computacionais bidimensionais sugerem que a estabilidade da órbita de Troia proposta por Theia teria sido afetada quando sua massa crescente excedia um limite de aproximadamente 10% da massa da Terra (a massa de Marte). Nesse cenário, perturbações gravitacionais por planetesimais levaram Theia a se afastar de sua localização lagrangiana estável e as interações subsequentes com a proto-Terra levaram a uma colisão entre os dois corpos.

Nota: Respondendo a partir de um comentário publicado no Space Exploration

A análise clássica de estabilidade desses pontos de calibragem pressupõe que estamos examinando o movimento de uma partícula cuja dinâmica é perturbada pelos impactos gravitacionais de uma massa primária e secundária, de modo que, como resposta do tipo linha de frente para a frente, a massa de T é insignificante - portanto, grandes aumentos de massa anularão essas suposições. Além disso, a análise de estabilidade é uma análise linear de estabilidade , implicando que a estabilidade é válida apenas dentro de uma vizinhança do ponto de equilíbrio, e muito pouca informação pode ser dita sobre o comportamento não linear (no entanto, um ponto de equilíbrio instável será instável no dinâmica não linear).

Dito isso, o valor crítico da massa no problema circular de três corpos restritos (CR3BP) pode ser encontrado a partir do desenvolvimento a seguir, resumido dos principais textos astrodinâmicos para incluir Vallado (1), Roy (2), Schaub (3) ou o texto essencial de 1967 da CR3BP de Szebehely (4). As equações lineares variacionais de movimento para pequenas perturbações no plano sobre os pontos de libração triangulares podem ser encontradas como

$\ddot{\xi}=2\dot{\eta}+U_{xx}^*\xi + U_{xy}^{*}\eta\\ \ddot{\eta}=-2\dot{\xi}+U_{yx}^{*}\xi+U^{*}_{yy}\eta$

onde são as perturbações nas direções e no quadro sinódico do CR3BP e é são parciais de uma função artificial de pseudo-potencial. Essencialmente, a equação característica deste sistema linear é encontrada como , onde , sendo um autovalor da equação característica real.$\xi,\eta$$x$$y$$U^{*}_{..}$$\Lambda^2 + \Lambda + \frac{27}{4}\mu(1-\mu)=0$$\Lambda = \lambda^2$$\lambda$

Se deixarmos , as quatro raízes do sistema podem ser expressas como funções levemente complicadas de , mas o comportamento do valor próprio pode ser classificado de acordo com o valor de como abaixo:$g = 1-27\mu(1-\mu)$$g$$g$

• $0 < g \leq 1$ : autovalores imaginários puros, estabilidade marginal
• $g = 0$ : autovalores repetidos; termos seculares presentes; instável
• $g > 0$ : autovalores com reais positivos; instável

O valor crítico ( ) vem da configuração . Resolvendo isso, descobrimos que . Novamente, uma suposição fundamental nesse desenvolvimento é que a massa do terceiro corpo é desprezível . Muitos sistemas de interesse estão abaixo desse valor crítico de massa para incluir a Terra-Lua, Sol-Terra, Sol-Júpiter, etc .; no entanto, alguns sistemas estão definitivamente acima desse valor - considere o sistema Plutão-Caronte com um valor de aproximadamente 0,1101.$\mu$$\mu_c$$g=0$$\mu_c=\frac{1}{2}\left(1\pm\frac{\sqrt{69}}{9}\right)\approx0.0385$$\mu$

1: Vallado, DA: Fundamentos de Astrodinâmica e Aplicações. 30 de junho de 2001. Springer Science & Business Media.

2: Roy, AE Orbital Motion, 4ª ed. 31 de dezembro de 2004. CRC Press.

3: Schaub, HP Analytical Mechanics of Space Systems. 2003. AIAA.

4: Szebehely, Teoria VG de Órbitas no Problema Restrito de Três Corpos. Junho de 1967. Pr Academic.

Resposta estreita: se todas as massas fossem iguais, seria uma roseta Klemperer de três corpos. Sabe-se que essas configurações triviais de KR não são estáveis ​​a longo prazo.

http://en.wikipedia.org/wiki/Klemperer_rosette