Efeito determinante da força variável pequena na precessão planetária do periélio

Existe uma técnica analítica para determinar o efeito de uma pequena aceleração transversal variável sobre a taxa de precessão de aspides (estritamente não uma precessão, mas a rotação da linha de aspides) de um planeta orbitando em torno do Sol em um plano 2D, de acordo com a lei da gravidade newtoniana ?

Modelei esses efeitos em um modelo de computador reiterativo e gostaria de verificar essas medidas.

A fórmula de aceleração transversal é

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Onde:-

c é a velocidade da luz,

K é uma constante de magnitude entre 0 e +/- 3, de modo que . $K/(c^2) << 1$

Ar é a aceleração do planeta em direção ao Sol devido à influência gravitacional newtoniana do Sol ( ). $Ar = GM/r^2$

Vr é componente radial da velocidade do planeta em relação ao Sol (+ = movimento para longe do Sol)

Vt é um componente transversal da velocidade do planeta em relação ao Sol (+ = direção do movimento de avanço do planeta ao longo de seu caminho orbital). Vectorialmente Vt = V - Vr onde V é o vetor de velocidade instantânea total do planeta em relação ao Sol.

Suponha que a massa do planeta seja pequena em relação ao Sol

Nenhum outro corpo está no sistema

Todos os movimentos e acelerações estão confinados ao plano bidimensional da órbita.

ATUALIZAR

A razão pela qual isso é interessante para mim é que um valor de K = +3 no meu modelo de computador produz valores de taxa de rotação periapse anômalos (não-newtonianos) muito próximos de cerca de 1% daqueles previstos pela Relatividade Geral e dentro de alguns por cento de os observados pelos astrônomos (Le Verrier, atualizado por Newcomb).

Fórmula (Einstein, 1915) para rotação de periapse derivada de GR (radianos por órbita) de http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

ATUALIZAÇÃO 4

Eu aceitei a resposta de Walter. Ele não apenas respondeu à pergunta original (Existe uma técnica ...?), Mas também sua análise produz uma fórmula que não apenas confirma os efeitos simulados por computador da fórmula de aceleração transversal (para K = 3), mas que também (inesperadamente para mim) é essencialmente equivalente à fórmula de Einstein 1915.

Resumo de Walter (na resposta de Walter abaixo): -

: (a partir da análise de peturbação de primeira ordem) o eixo semi-maior e a excentricidade permanecem inalterados, mas a direção da periapse gira no plano da órbita na taxa que é a frequência orbital e com eixo semi-principal. Observe que (para ) isso concorda com a taxa de precessão da relatividade geral (GR) na ordem (dada por Einstein 1915).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit steveOw
fonte

Você ainda está procurando uma resposta?

Walter Walter

@Walter. Sim, eu sou. Fiz uma pergunta semelhante em physics.stackexchange.com/questions/123685/…, mas nenhuma resposta sólida foi recebida ainda.

steveOw

@Walter. Também perguntei em math.stackexchange.com/questions/866836/… .

steveOw

Sim, existem métodos analíticos aproximados (teoria das perturbações), válidos no limite de . Talvez você possa esclarecer um pouco sua pergunta. Qual é a direção da aceleração transversal (entendo 'transversal' como perpendicular à velocidade instantânea, mas não está claro se a aceleração está no plano da órbita ou perpendicular ou uma mistura).

K ≪ 1

$K\ll1$

Walter

Há uma diferença entre sua pergunta aqui e a de matemática (e física): aqui a aceleração transversal é proporcional à aceleração radial e é um número adimensional, lá a aceleração radial não tem efeito na aceleração transversal e deve ser um aceleração (embora você fale sobre um 'número').

K

$K$

K

$K$

Walter

Você pode querer usar a teoria da perturbação . Isso fornece apenas uma resposta aproximada , mas permite o tratamento analítico. Sua força é considerada uma pequena perturbação à órbita elíptica Kepler e as equações resultantes do movimento são expandidas em potências de . Para a teoria da perturbação linear, apenas os termos lineares em são retidos. Isso simplesmente leva à integração da perturbação ao longo da órbita original imperturbável. Escrevendo sua força como um vetor, a aceleração perturbadora é com a velocidade radial ( ) e $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ o componente rotacional da velocidade ( a velocidade total menos a velocidade radial). Aqui, o ponto acima indica uma derivada de tempo e um chapéu para o vetor de unidade.

Agora, depende do que você quer dizer com ' efeito '. Vamos trabalhar as mudanças do orbital semi-eixo , excentricidade , e direção de periapse. $a$ $e$

Para resumir os resultados abaixo : o eixo semi-maior e a excentricidade permanecem inalterados, mas a direção da periapse gira no plano da órbita na taxa que é a frequência orbital e com eixo semi-principal. Observe que (para ) isso concorda com a taxa de precessão da relatividade geral (GR) na ordem (fornecida por Einstein 1915, mas não mencionada na pergunta original).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

mudança do semi-eixo principal

A partir da relação (com a energia orbital) temos para a mudança de devido a uma energia externa aceleração (não Kepleriana) Inserindo (observe que com vetor de momento angular ), obtemos Como a média da órbita para qualquer função (veja abaixo), . $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

mudança de excentricidade

Em , encontramos Já sabemos que , portanto, precisamos considerar apenas o primeiro termo. Assim, onde usei a identidade e o fato $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ . Novamente e, portanto, .

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

mudança da direção do periapse

O vetor de excentricidade pontos (do centro de gravidade) na direção da periapse, tem magnitude , e é conservado sob o movimento kepleriano (valide tudo isso como um exercício!). A partir dessa definição, encontramos sua alteração instantânea devido à aceleração externa $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ onde eu usei a identidade e o fato . As médias de órbita dessas expressões são consideradas no apêndice abaixo. Se finalmente juntarmos tudo, obteremos com [ corrigido novamente ] Esta é uma rotação de periapse no plano da órbita com frequência angular. Em particular

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ de acordo com nossa descoberta anterior.

Não se esqueça que, devido ao uso da teoria de perturbação de primeira ordem, esses resultados são estritamente verdadeiros no limite . Na teoria de perturbação de segunda ordem, no entanto, tanto como / podem mudar. Em seus experimentos numéricos, você deve achar que as mudanças em média órbita do e são zero ou escalar mais forte do que linear com perturbação de amplitude . $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

isenção de responsabilidade Não há garantia de que a álgebra esteja correta. Confira!

Apêndice: médias de órbitas

As médias de órbita de com uma função abitrária (mas integrável) podem ser calculadas diretamente para qualquer tipo de órbita periódica. Seja a antiderivada de , ou seja, , então a média da órbita é: com o período orbital. $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

Para as médias de órbita necessárias em , precisamos cavar um pouco mais fundo. Para uma órbita elíptica kepleriana com vetor de excentricidade e um vetor perpendicular a e . Aqui, é a anomalia excêntrica, que está relacionada à anomalia média via modo que $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ e uma média de órbita se torna Tomando a derivada do tempo (observe que a frequência orbital) de , encontramos a velocidade orbital instantânea (não perturbada) onde eu apresentei , a velocidade da órbita circular com o maior eixo . A partir disso, encontramos a velocidade radial

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ e a velocidade de rotação

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

Com isso, [ corrigimos novamente ] em particular, os componentes na direção média de zero. Assim [ corrigido novamente ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

Walter
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Comentários não são para discussão prolongada; esta conversa foi movida para o bate-papo .

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