Qual é a razão correta dos efeitos gravitacionais Newtonianos e Relativísticos Gerais do Sol + sistema orbital de planeta único

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Para um sistema orbital hipotético (Sol + planeta único), o modelo Newtoniano e o modelo de Relatividade Geral (GR) produzem expressões diferentes para o efeito gravitacional do Sol no planeta. Isso é bem conhecido.

A razão entre os efeitos newtoniano e GR é expressa de diferentes maneiras por diferentes escritores.

Estou tendo problemas para conciliar duas dessas expressões da razão Newtoniana: GR.

Em primeiro lugar, Walter (2008) (equação 12.7.6, página 482) apresenta a seguinte expressão para a equação de movimento produzida a partir do modelo GR

d2udθ2+u=GMh2+3GMc2u2
que , , é a constante universal de gravitação, é a massa do Sol, é a velocidade da luz. Aqui, o termo é o termo newtoniano comum e o termo é o termo adicional introduzido por GR. u=(1/r)h=vrGMcGM/h23GMu2/c2

Disto Walter deriva a razão aproximada entre os efeitos newtoniano e GR como para onde é a velocidade orbital do planeta em uma órbita circular ( com distância = , o eixo semi-principal).(1)(1+3v2/c2)v=GM/rra

Segundo, uma apresentação alternativa (referente à chamada solução de Schwartzchild) é apresentada por Goldstein em Mecânica Clássica (3ª Edição), páginas 536-538. O potencial de GR é dado por que é a massa corporal alvo é uma constante (Goldstein usa vez de , veja abaixo, mas eu já usei para significar algo diferente em Walter acima) VGR

V=GMmrbr3
mbhbh

diferenciando o potencial em relação à distância para dar força, derivamos r

FGR=GMmr2+3br4

Agora Goldstein define a constante assim: - que e b

b=kl2m2c2 Goldstein eqtn [12.48]
k=GMm
l2=mka(1e2) Goldstein eqtn[12.50]

assim

b=GMmmGMma(1e2)m2c2=GMmL2c2=GMmm2vc2a2c2

Portanto, a equação da força GR torna-se substituindo por e obtemos

FGR=GMmr2+3GMmm2vc2a2r4c2
ar
FGR=GMmr2+3GMmm2vc2r2c2=GMmr2(1+3vc2m2c2)

Portanto, a razão Newtoniana: GR derivada de Goldstein é igual à razão derivada de Walter, exceto que a primeira possui o termo adicional de no numerador. Mesmo se tentássemos falsificar isso numericamente, invocando uma meta de massa unitária, ela ainda estaria dimensionalmente incorreta. m2

Então, qual é a proporção correta?

ATUALIZAÇÃO ------------------------------------------------- --------------------

Na refatoração de , usei o momento angular quando deveria ter usado o momento angular específico . Após a correção, o extra desaparece. Goldstein concorda com Walter. Meus agradecimentos a Stan Liou pela iluminação. bLlm2

Análise corrigida: -

b=GMmmGMma(1e2)m2c2=GMml2c2=GMmvc2a2c2

Portanto, a equação da força de GR torna-se substituindo por obtemos

FGR=GMmr2+3GMmvc2a2r4c2
ar
FGR=GMmr2+3GMmvc2r2c2=GMmr2(1+3vc2c2)

Portanto, a razão correta da força gravitacional Newtoniana para GR é: -

FNewtonian:FGR1:(1+3vc2c2)

NOTAS

Essa relação é aproximada e se aplica apenas ao subdomínio "baixa velocidade, campo fraco" do modelo GR.

Goldstein também enfatiza que o efeito GR não é um efeito de velocidade (presumivelmente como na velocidade do corpo-alvo através de qualquer tipo de éter ou fluxo).

Coincidentemente (no mesmo subdomínio, por exemplo, Mercúrio orbitando o Sol), uma força radial newtoniana modificada de magnitude , em que é a velocidade transversal instantânea de um planeta alvo pequeno, produz rotação apsidal não newtoniana ("precessão do periélio") da mesma magnitude (dentro de 1%) que a GR. f=GMm/r2[1+3vt2/c2]vt

Goldstein precisa ser lido com cuidado. Aqui, ele usa para denotar momento angular noutro local (por exemplo, eqtn [1,7]) ele usa . Ele geralmente se refere a como "potencial" quando se refere claramente a "energia potencial" (por exemplo, eqtn [3,49]).lLV

steveOw
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Não existe uma "proporção" específica. Se isso fosse tudo o que havia para a relatividade geral, GR seria fácil. GR não é "fácil". A relação postada nesta pergunta é talvez a mais simples das linearizações simples da relatividade geral.
David Hammen
É claro que David está correto, pois esse tipo de comparação só faz sentido para órbitas lentas em uma aproximação de campo fraco, embora, felizmente, esse também seja o contexto dessa questão. Pode-se notar que, para o caso específico do espaço-tempo de Schwarzschild, as órbitas são exatamente descritas pelo potencial efetivo; a aproximação ocorre quando se trata a coordenada radial e o tempo apropriado como se fossem newtonianos, o que é inválido em situações mais gerais.
Stan Liou
David e Stan: Obrigado. Sim, eu estava ciente, mas adicionei esclarecimentos no final da pergunta.
precisa saber é o seguinte

Respostas:

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Órbitas no espaço-tempo de Schwarzschild podem ser descritas pelo potencial efetivo onde é o momento angular específico da órbita, que é uma quantidade conservada. Os dois primeiros termos corresponder a forma do potencial efetivo newtoniana, exceto que aqui estamos nos referindo ao Schwarzschild coordenada radial e tempo apropriado da partícula em órbita, em vez de distância radial e coordenar tempo. O primeiro termo é o potencial gravitacional usual e o segundo é o potencial centrífugo, de modo que o de Goldstein faz algum sentido como um termo de energia potencial gravitacional.

Veff=GMr+l22r2GMl2c2r3,
l=r2ϕ˙rV

Portanto, com significa que é o momento angular, e exatamente como diz Goldstein. Se diferenciarmos em relação ao tempo adequado, então l2=mka(1e2)k=GMmll=ml

GMl2c2r3m=GMml2m21c2r3=kl2m2c3b1r3,
12mr˙2+mVeff=E
mr¨l2mr3=kr23br4=kr2(1+3l2m2c21r2)=kr2(1+3m(GMm)a(1e2)m2c21r2)=kr2(1+3vc2c2a(1e2)r).
Isso é dimensionalmente correto, pois e têm dimensão, enquanto O lado esquerdo tem a forma newtoniana.vc/ca/r
l2mr3=kr2a(1e2)r.
Stan Liou
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tem a dimensão devido à inclusão de na Eqtn 12.50. Talvez a Eqtn.12.48 para deva ter no denominador em vez de ? MD2/Tk=GMmbm4m2
steveOw
Aha! Vejo que o erro é meu. Confundi momento angular com momento angular específico (sem massa). Goldstein concorda com Walter. Seu está pois o segundo vem do termo . 2mk=GMm
steveOw
@steveOw sim, eu interpretei mal como as variáveis ​​foram definidas também. Eh!
Stan Liou 15/10
Eu acho que sua última equação, mas deve-se ter (a ^ 2 / r ^ 2) em vez de (a / r) assumindo que a equação anterior está correta. De qualquer maneira, qualquer presença de r neste termo refuta minha tese ... que agora estou reavaliando ... Posso fazer uma pergunta separada para esclarecer meus pensamentos.
precisa saber é o seguinte
@steveOw Como como introduzido no início do segundo parágrafo (veja também aqui, mas com ), está correto. Mas você é bem-vindo a fazer qualquer pergunta posterior. l2/m2=GMa(1e2)mMa/r
9788 Stanley Liou #
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A expressão usada pela NASA / JPL para aproximar os efeitos relativísticos da órbita de um único planeta mais o Sol em nosso sistema solar é conhecida como " expansão pós-newtoniana " e se parece com:

dv¯dt=GMr2(14GMrc2+v2c2)r^+4GMr2(r^v^)v2c2v^

Se existem muitos planetas, a expressão se torna mais complexa. Você pode comparar isso com a aceleração newtoniana clássica:

dv¯dt=GMr2r^

Eu não sou um grande fã dessa aproximação, mas é o que é mais usado.


Para uma órbita circular pura nas coordenadas de Schwarzschild, você obtém a mesma velocidade orbital em GR (em tempo de coordenadas) que classicamente.

Se você está retirando um objeto do repouso, a aceleração inicial em GR (em tempo de coordenadas) é a mesma que clássica.

Geralmente, se você quiser saber se o GR ou a gravitação newtoniana clássica resultam em mais aceleração, você deve decidir se está interessado no resultado em "tempo de coordenadas" ou em "tempo adequado" e a fração também varia dependendo de qual direção a planeta está se movendo em comparação com o sol.

Agerhell
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