Alterações na órbita da Terra

Gravidade ajuda como esta é uma forma de colisão elástica. Há um pouco de número aqui (espero que não haja erros!), Então você deve estar familiarizado com o básico do momento, a energia cinética e a conservação dos mesmos.

Pergunta: Se Ceres (o maior asteróide conhecido e com quase 500 km de diâmetro) usasse a Terra para realizar uma assistência por gravidade para aumentar sua própria velocidade, em quanto isso desaceleraria a Terra e quanto maior a órbita da Terra se tornaria?

A velocidade orbital da Terra em torno do Sol é . Então, com uma massa de $U = 29.8~\mathrm{km~s}^{-1}$

M = 5.97 \times 10^{24} k g,

$M = 5.97\times 10^{24}~\mathrm{kg},$

tem uma energia cinética de

K = 2.65 \times 10^{33} J

$K = 2.65\times 10^{33}~\mathrm{J}$ e momento

P = 1.78 \times 10^{29} k g m s^{- 1} .

$P = 1.78\times 10^{29}~\mathrm{kg~m~s^{-1}}.$

Então, digamos que Ceres esteja executando um estilingue gravitacional, como no diagrama simples abaixo. Ceres tem uma massa . Ele se aproxima da Terra na velocidade , e após o estilingue sua velocidade final é (até, para um objeto de baixa massa) uma velocidade de . $m = 9.47 \times 10^{20}~\mathrm{kg}$ $v$ $2\times U+v$

insira a descrição da imagem aqui

O momento total do sistema deve ser conservado . Ceres mudou de direção e, assim, ganhou uma quantidade significativa de impulso na direção esquerda: o mesmo momento que a Terra deve então perder. A energia cinética também é conservada. Então, nós temos um sistema de equações, onde os subscritos i e f são momentos e velocidades inicial e final. M e U são a massa e a velocidade da Terra, m e v são as de Ceres.

M U_{i}^{2} + m v_{i}^{2} = M U_{f}^{2} + m v_{f}^{2}

$MU_i^2 + mv_i^2 = MU_f^2 + mv_f^2$

que diz que a soma das energias cinéticas iniciais dos dois objetos deve ser igual à soma da energia cinética final. Também temos conservação do momento:

M U_{i} + m {\vec{v}}_{i} = M U_{f} + m {\vec{v}}_{f}

$MU_i + m\vec{v}_i = MU_f + m\vec{v}_f$

Resolvendo essas equações, a solução é

v_{f} = \frac{(1 - m / M) v_{i} + 2 U_{i}}{1 - m / M}

$v_f = \frac{(1-m/M)v_i + 2U_i}{1-m/M}$

Se Ceres se aproximou da Terra em , uma solução de - mesmo para um objeto tão grande , a é extremamente boa. Isso significa que a velocidade de Ceres quase triplicou com o auxílio da gravidade. $v_i = 30~\mathrm{km~s}^{-1}$ $v_f = 89.6~\mathrm{km~s}^{-1}$ $v_f \approx 2U+v$

Então, o momento final da Terra é

M U_{f} = M U_{i} - m v_{i} - m v_{f} = 1.78 \times 10^{29} k g m s^{- 1}

$MU_f = MU_i - mv_i - mv_f = 1.78 \times 10^{29}~ \mathrm{kg~m~s^{-1}}$

De fato, o momento linear da Terra só diminuirá em . A partir dessa mudança de momento e da massa da Terra, descobrimos que sua velocidade orbital diminui em . $mv_i + mv_f = 1.13 \times 10^{23} ~\mathrm{kg~m~s^{-1}}$ $0.019~\mathrm{m~s}^{-1}$

Aproximando uma órbita circular (usando ), a órbita da Terra aumenta em 190 km. Parece muito, mas tenha em mente que são 190 km de 150 milhões! $r=GM_{sun} / v^2$

Ceres é muitas ordens de magnitude maior que qualquer satélite que possamos lançar. Portanto, nunca poderíamos praticamente usar naves espaciais para mudar significativamente nossa órbita, e mesmo um enorme asteróide quase fatal seria de pouca importância. Mas isso não impediu alguns de tentar !

Moriarty
fonte

Estou confuso com a afirmação em sua resposta de que, se a Terra desacelera, sua órbita se alarga (o que, suponho, significa que ela se afasta do Sol). Isso implica que, à medida que a Terra perde energia, ela se afasta do Sol; ao invés de cair nessa direção (que era meu entendimento da física e da gravidade newtonianas). Obviamente estou perdendo alguma coisa.

dav1dsm1th

@ dav1dsm1th É uma manifestação da Terceira Lei de Kepler . Outra maneira de pensar é que, à medida que a Terra se afasta do Sol, ela ganha energia potencial gravitacional em troca de energia cinética.

Moriarty

Vou ter que ler um pouco mais ... Não consigo entender a idéia de que a Terra pode perder uma quantidade significativa de sua energia cinética (em um encontro muito improvável com um corpo grande) e acabar voando para longe do sol, em vez de cair em direção a ele. Obrigado pela resposta.

dav1dsm1th

Se Ceres começa a se afastar do Sol e o impulso orbital faz com que ele se mova em direção ao Sol, então, para conservar o momento, a velocidade da Terra para longe do Sol pode aumentar. Ceres recebe um impulso em direção ao Sol, a Terra recebe um impulso em direção ao Sol. É essa mudança de velocidade que pode resultar em uma órbita maior. Como observação, acho que o semi-eixo maior da Terra aumenta, mas também aumenta a excentricidade de sua órbita.

Barrycarter #

A mudança na excentricidade orbital dependeria de onde a colisão ocorreu. Como afirmado no meu exemplo, assumi órbitas circulares para limitar o escopo da resposta. Na realidade, nossa órbita é excêntrica, e as mudanças nos comprimentos dos eixos semimaior e semiminor de nossa órbita dependerão de quão próximos estamos do periélio e do afélio. Se a Terra perder impulso próximo ao periélio, perderemos a excentricidade. Se perdermos impulso próximo ao afélio, ganharemos excentricidade. Pelo menos, é o que Kerbal Space Program me ensinou :)

Moriarty

Alterações na órbita da Terra

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