O número de possíveis jogos de xadrez é infinito?

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Esta questão está um pouco relacionada a. O número total de possíveis vitórias / empates / perdas pode ser calculado? , mas um pouco diferente.

Há um episódio recente de programa de TV que afirma que há "mais jogos possíveis de xadrez do que átomos no universo". Eles continuam que "cada movimento possível representa um jogo diferente, um universo diferente [..]"; "pela segunda jogada, há 72084 jogos possíveis, pela terceira - 9 milhões, pela quarta - 318 milhões".

Então, o número total de jogos de xadrez é infinito, para todos os propósitos práticos, dadas as limitações humanas e tecnológicas? E os números acima realmente se mantêm em escrutínio? (ou seja, quais são os possíveis jogos estimados por, digamos, a 10ª jogada?)

Curiosamente, a Wikipedia parece estar implicando que o número de jogos possa ser estimado:

o número de jogos possíveis [no Go] é vasto (10 761 comparado, por exemplo, aos 10 120 possíveis no xadrez)

theory statistics game-complexity landroni
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Se você definir um "jogo" como a história dos movimentos, qualquer jogo que permita repetição terá infinitos jogos possíveis. Snakes and Ladders tem infinitos "jogos" possíveis. Se você estiver interessado na complexidade de resolver um jogo, ignorar a história dos movimentos e olhar para o número de estados possíveis da placa pode estar em.
Schwern
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Nota: o pessoal da ciência da computação se oporia imediatamente ao "infinito, para todos os fins práticos". É extremamente perigoso "arredondar" para o infinito. De um modo geral, quando cometem o erro de fazer isso, alguém rapidamente quebra seu algoritmo, mostrando que não era realmente um infinito com o qual estavam lidando. Na criptografia, não é inédito ter algoritmos que pareciam "inquebráveis ​​até a morte por calor do universo", que foram quebrados devido a alguns truques que diminuíram o tamanho do problema em 10 ^ 80 ou mais
Cort Ammon - Reinstate Monica
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Se não estou enganado, você está se referindo ao programa de TV Pessoa de interesse, certo? O que eles querem dizer é que, prevendo os próximos movimentos possíveis, é necessário criar uma árvore de decisão para calcular todas as possibilidades. Quando Harold se refere ao "segundo movimento", ele quer dizer dois movimentos à frente (o seu e o do oponente; em ciência da computação, esse é o 2º nível de profundidade da árvore). Portanto, sem fazer os cálculos, acredito que possa estar correto. Pelo menos, deve ser um número enorme.
precisa saber é o seguinte
Você pode achar este vídeo interessante. youtu.be/Km024eldY1A
Jivan Scarano

Respostas:

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O número máximo de jogadas em um jogo de xadrez não é infinito, são 11797 camadas = 5898 jogadas e meia. Isto é devido à regra dos cinquenta movimentos.

Portanto, não, o número de possíveis jogos de xadrez não é infinito.

O número máximo de jogadas legais em uma posição é 218. Portanto, um limite superior bruto para o número de possíveis jogos de xadrez é 218 ^ 11797 = 10 ^ 27586

Espere, na verdade, depois de cinquenta movimentos sem qualquer movimento de captura ou peão, os jogadores também podem continuar jogando sem reivindicar o empate ...

O Artigo 9.3 das Leis de Xadrez da FIDE declara que:

9,3

O jogo é empatado, mediante uma reivindicação correta de um jogador que tem a jogada, se:

  • ele escreve seu lance, que não pode ser alterado, em sua súmula e declara ao árbitro sua intenção de fazer esse lance, o que resultará nos últimos 50 lances de cada jogador, sem o movimento de nenhum peão e sem captura, ou
  • os últimos 50 movimentos de cada jogador foram concluídos sem o movimento de nenhum peão e sem nenhuma captura.

Então eu acho que o número de possíveis jogos de xadrez poderia ser considerado infinito ...

Mas se você não estiver interessado nos números teóricos anteriores:
o número médio de jogadas legais em uma posição é de cerca de 35 e a duração média de um jogo de xadrez é de cerca de 40 jogadas = 80 dobras, portanto, uma estimativa do número de " jogos de xadrez racionais "são 35 ^ 80 = 10 ^ 123
Quanto ao número total de posições legais, ele está entre 10 ^ 40 e 10 ^ 50.

Destino
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A questão da repetição pode ser resolvida ajustando a questão para não ser sobre movimentos, mas sobre estados. Quantas configurações possíveis diferentes de um tabuleiro de xadrez são possíveis? Essa é a pergunta interessante do ponto de vista da complexidade. Repetição não importa, está repetindo o mesmo estado. Muitos estados não podem ser alcançados porque eles dariam mais de 50 movimentos ou são impossíveis por causa de restrições ao movimento das peças (principalmente peões).
Schwern
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@ Tony Ennis: eu editei. Mas na verdade não, a regra dos 50 movimentos não garante que o jogo termine, porque os jogadores também podem optar por não reivindicar o empate.
Destino
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Você poderia, por favor, editar sua resposta para que ela pareça uma resposta, em vez de uma discussão consigo mesma? Você começa afirmando incorretamente que o número de jogos é finito e depois se corrige. Basta fazer a reivindicação correta primeiro; se você quiser dizer "Mas se os jogadores sempre empatarem assim que tiverem direito ...", tudo bem.
David Richerby
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Na verdade, a partir de julho do ano passado, há uma regra de 75 movimento que é obrigatório. Portanto, a regra dos 50 movimentos não garante o fim do jogo, mas a regra dos 75 movimentos, embora o jogo mais longo aumente para 17.697 vezes. Dado um fator médio de ramificação de 35, pode-se estimar o número possível de jogos em 35 ^ 17697, ou cerca de 10 ^ 27000.
Deedlit
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Mesmo se desconsiderarmos a regra dos 50 e 75 movimentos, se os jogadores continuarem sem reivindicar um empate, em algum momento uma repetição tripla deverá ocorrer. Não sei se é necessário fazer um empate aqui, mas consideraria um número finito de jogos distintos com infinitas possibilidades de repetir um número finito de jogos possíveis, para o propósito desta pergunta.
11684
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Q1: sim. O número total de jogos de xadrez pode ser considerado infinito para todos os fins práticos. Não temos a tecnologia para força bruta nos primeiros 13 movimentos da posição inicial.

P2: Os números reais até a profundidade 13 são conhecidos. O número exato de posições possíveis para a 10ª jogada é 69.352.859.712.417. Leia este artigo da Wikipedia para mais detalhes.

Há uma tentativa de profundidade 14, mas até agora o cálculo após meses e meses ainda está em execução.

SmallChess
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Sim, números impressionantes. Engraçado que não podemos calcular acima de 14 movimentos ... Gostaria de saber quantos movimentos podem ser calculados para Go ... Três? :)
landroni
Ele não precisa ser "considerado infinito para todos os fins práticos", pois na verdade é infinito. Embora as regras de 50 movimentos e de repetição tripla permitam que qualquer jogador reivindique um empate, ele não termina automaticamente o jogo.
David Richerby
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@landroni Go é provavelmente mais fácil de calcular do que o xadrez. Existem 361 jogos de um movimento, 361 * 360 jogos de dois movimentos e 361 * 360 * 359 três jogos de movimento. O número de quatro jogos de movimento depende se o suicídio é permitido. Se for, haverá 358 possíveis quartas jogadas, a menos que as duas primeiras pedras do preto coloquem a primeira pedra da branca no canto; nesse caso, existem 359. Então, 361 * 360 * 359 * 358 + 8 jogos de quatro movimentos. Se o suicídio não for permitido, existem 361 * 360 * 359 * 358 - 8 * 358 jogos de quatro movimentos. Você pode continuar dessa maneira, separando-se em casos - 14 movimentos provavelmente são possíveis com o esforço do computador.
Deedlit
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Observe que isso significa 13 movimentos de meio movimento, ou dobra - sete movimentos de branco e seis de preto.
RemcoGerlich 14/01
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@DavidRicherby: a regra dos 75 movimentos (nova desde julho de 2014) é obrigatória.
RemcoGerlich 27/11/2015
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Em algum momento você ficará sem combinações. Então a resposta é basicamente não.

Nuach
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Um argumento simples de que o número de jogos de xadrez é finito pode ser o seguinte.

Devido à regra dos 50 movimentos, qualquer subsequência de 50 movimentos de um determinado jogo de xadrez conterá pelo menos uma captura ou um movimento de peão. Como existem muitas peças finitamente no tabuleiro, e como os peões podem se mover apenas finitamente muitas vezes durante um jogo, o número de jogadas em um jogo de xadrez tem um limite finito. Como em cada jogada, há apenas muitas possibilidades finitas, o número de todos os jogos é finito.

Observe que esse argumento é quase inútil se alguém quiser obter uma estimativa do número de jogos possíveis. Se por nada mais, a única coisa que uso acima é a regra dos 50 movimentos e como as peças se movem, de modo que as repetições são permitidas (no máximo 50 repetições, é claro). Portanto, o argumento é apenas teórico, não prático.

Zvonimir
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A regra de 50 movimentos inclui 'mediante uma reivindicação correta': nenhuma reivindicação, nenhuma implementação da regra. O mesmo se aplica à repetição. Ergo, infinito.

Sem um número máximo obrigatório de jogadas, é claro.

x1797n7917
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Não mais. As novas Leis do Xadrez da FIDE têm uma regra de 75 movimentos com um empate automático. Consulte fide.com/fide/handbook.html?id=171&view=article $ 9,6.
Dag Oskar Madsen
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Para entender as leis da FIDE - Primeiro, elas devem ser usadas nos torneios - então, considerando essas informações, você entende como as leis da FIDE não se relacionam com dois amigos que decidem jogar? Para dois amigos, que diminuem apenas para dois reis, eles podem se perseguir em torno do tabuleiro uma quantidade infinita, se assim o desejarem. (Plausível - não realmente, possível - sim)

Na lei FIDE 9.2 - 50 jogadas consecutivas devem ser feitas onde não há peão movido e nenhuma captura feita. Obviamente, isso não seria um "jogo de 50 movimentos" (por exemplo, 1.e4 significaria outros 50 movimentos consecutivos sem um peão movido ou uma captura feita)

Na lei 9.6 - 75 jogadas consecutivas da FIDE ... O mesmo raciocínio de que este não é um jogo de 75 jogadas.

Uma das primeiras evidências de um jogo gravado foi 14 jogadas consecutivas (1. e4 b6 2. d4 Bb7 3. Bd3 f5 4. ef5 Bg2 5. Qh5 g6 6. fg6 Nf6 7. gh7 Nh5) Mesmo que o 15º tenha sido xeque-mate se o vencedor decidisse não fazer xeque-mate, ele ainda precisaria de mais 75 jogadas para declarar o empate na lei 9.6 da FIDE (com 12 peões restantes no tabuleiro - duvido que isso teria acontecido em 75 jogadas)

Respeitosamente, o CFC

Clayton Currier
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Bem, se dois amigos que não se importam com nenhuma regra oficial gostam de jogar um jogo sem sentido e chamar isso de xadrez, eles podem! Mas devemos chamá-lo de xadrez para os propósitos deste site? Uma posição com apenas dois reis é um empate imediato.
RemcoGerlich
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Como outras respostas aqui apontam para repetição ou algo semelhante, desejo modificar sua pergunta para "O número de POSIÇÕES possíveis de xadrez é infinito. A resposta é" Não ". O total é muito grande e estima-se que seja de 10 a 120ª potência Pensa-se que o número total de átomos no universo seja de apenas 10 à potência 80. Uau!

O número 10 à 134a potência fornecido por um respondente anterior pode estar correto.

O jogo chinês "Go" é ainda mais variado que o xadrez (mas chato por comparação, pois o xadrez tem peças com habilidades diferentes, enquanto em Go todas as peças são iguais).

markbolles44
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Posso estar olhando isso de maneira muito simplista, mas me parece que o número precisa ser finito. Se olharmos para o tabuleiro e as peças em vez do jogo de xadrez e calcularmos o número de variações possíveis, podemos obter uma resposta que é finita. Mente incrivelmente enorme, mas finita. Dado que nem todas as combinações são possíveis em um jogo de xadrez, o número de combinações em um jogo de xadrez deve ser menor que esse número finito e, portanto, um número finito em si.

Justin
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