Por que amostragem aleatória de Monte Carlo em vez de amostragem uniforme?

Por que é tão comum usar locais aleatórios de amostras de Monte Carlo, em vez de amostragem uniforme?

Suponho que a coleta de amostras aleatórias traga algum benefício, mas não sei o que elas poderiam ser.

Alguém é capaz de explicar a vantagem de locais aleatórios de amostras sobre locais uniformes de amostras?

Locais de amostra com um padrão uniforme criarão alias na saída, sempre que houver recursos geométricos de tamanho comparável ou menor que a grade de amostragem. Essa é a razão pela qual "jaggies" existem: como as imagens são feitas de uma grade quadrada uniforme de pixels e quando você renderiza (por exemplo) uma linha angular sem suavização de borda, ele atravessa linhas / colunas de pixels em intervalos regulares, criando um padrão regular de artefatos de degraus na imagem resultante.

A superamostragem em uma grade uniforme mais fina melhorará as coisas, mas a imagem ainda terá artefatos semelhantes - apenas menos mal. Você pode ver isso no MSAA, como nesta imagem de comparação de uma apresentação da NVIDIA sobre antialiasing temporal:

A imagem 8x do MSAA (que não é exatamente uma grade, mas ainda tem um padrão de repetição) ainda possui claramente recortes, embora sejam recortes sem serrilhado. Compare com o resultado TXAA, que possui uma contagem efetiva de amostras mais alta (devido à reutilização temporal) e usa um filtro gaussiano em vez de caixa para acumular as amostras.

Por outro lado, a amostragem aleatória produz ruído em vez de serrilhado. Não há padrão para os locais da amostra, portanto, não há padrão para os erros resultantes. Tanto o aliasing quanto o ruído são erros devido à falta de amostras suficientes para formar uma imagem limpa, mas sem dúvida o ruído é o artefato menos visualmente desagradável.

Por outro lado, perfeitamente amostragem aleatória (no sentido de variáveis aleatórias iid ) tende a apresentar um determinado nível de aglomeração. Puramente por acaso, algumas áreas do domínio terão aglomerados de amostras mais densos do que a média e outras áreas serão escassas; essas áreas serão, respectivamente, super-representadas e sub-representadas na estimativa resultante.

A taxa de convergência do processo de Monte Carlo geralmente pode ser aprimorada usando itens como amostragem estratificada , seqüências de baixa discrepância ou ruído azul . Todas essas são estratégias para gerar amostras "desagrupadas", que são espaçadas um pouco mais uniformemente do que as amostras iid, mas sem criar padrões regulares que possam levar ao alias.

Os métodos de Monte Carlo baseiam-se na lei dos grandes números , que afirma que a média de um evento aleatório repetido um grande número de vezes converge para o valor esperado (se você jogar uma moeda um zilhão de vezes, em média, obterá cada lado metade da Tempo). A integração de Monte Carlo usa essa lei para avaliar uma integral através da média de um grande número de amostras aleatórias.

Usar uma distribuição uniforme quebraria o algoritmo porque a lei em que se baseia não se aplicaria mais.