Cortar varas iguais de varas diferentes

Você tem comprimentos arbitrários, não necessariamente integrais.$n$

Cortando alguns palitos (um corte corta um palito, mas podemos cortar quantas vezes quisermos), você deseja obter palitos de tal forma que:$k<n$

• Todos esses sticks têm o mesmo comprimento;$k$
• Todos os sticks têm pelo menos o comprimento de todos os outros sticks.$k$

Observe que obtemos sticks após a execução de cortes em$n + C$$C$

Qual algoritmo você usaria para que o número de cortes necessários fosse mínimo? E qual é esse número?

Como exemplo, considere e qualquer . O seguinte algoritmo pode ser usado:n ≥ $k=2$$n\geq 2$

• Encomende as varas por ordem decrescente de comprimento, de forma que .$L_1\geq L_2 \geq \ldots \geq L_n$
• Se , corte a vareta nº 1 em duas partes iguais. Agora existem dois paus de comprimento , que são pelo menos contanto que os paus restantes .L 1 / 2 2 ... $L_1\geq 2 L_2$$L_1 / 2$$2 \ldots n$
• Caso contrário ( ), corte a vareta nº 1 em duas partes desiguais dos tamanhos e . Agora existem dois manípulos de comprimento , que são maiores que e os outros manípulos .L 2 L 1 - L 2 L 2 L 1 - L 2 3 … $L_1 < 2 L_2$$L_2$$L_1-L_2$$L_2$$L_1-L_2$$3 \ldots n$

Nos dois casos, um único corte é suficiente.

Tentei generalizar isso para maior , mas parece haver muitos casos a serem considerados. Você consegue encontrar uma solução elegante?$k$

A primeira observação central para resolver esse problema é que a viabilidade de um comprimento de corte ,$l$

$\qquad\displaystyle \operatorname{Feasible}(l) = \biggl[\, \sum_{i=1}^n \Bigl\lfloor\frac{L_i}{l} \Bigr\rfloor \geq k \,\biggr]$ ,

é constante por partes, contínuo à esquerda e não aumenta em . Como o número de cortes necessários se comporta de maneira semelhante, encontrar o comprimento ideal é apenas$l$

$\qquad\displaystyle l^{\star} = \max \{ l \mid \operatorname{Feasible}(l) \}$ .

Além disso, como as outras respostas propuseram, todas as descontinuidades de salto têm o formato . Isso nos deixa com um problema discreto e unidimensional de busca, passível de busca binária (depois de classificar um conjunto finito de candidatos).$L_i/j$

Observe, além disso, que precisamos considerar apenas o que é menor que o maior , já que esse sempre é viável.$L_i$$k$

Então, limites diferentes em levam a algoritmos de eficiência diferente.$j$

• $1 \leq j \leq k$ resulta em um espaço de pesquisa de tamanho quadrático (em ),$k$
• L $1 \leq j \leq \lceil k/i \rceil$ em um (supondo que sejam classificados por tamanho decrescente) e$L_i$
• limites um pouco mais envolvidos em um linear.

Usando isso, podemos resolver o problema proposto em tempo e espaço .Θ ( n + k $\Theta(n + k \log k)$$\Theta(n + k)$

Uma observação adicional é que a soma em cresce em por para cada candidato "aprovado", contando duplicatas. Usando isso, podemos usar a seleção de classificação em vez da pesquisa binária e obter um algoritmo que é executado no tempo e no espaço , o que é ideal. l 1 L i / j Θ ( n $\mathrm{Feasible}$$l$$1$$L_i/j$$\Theta(n)$

Encontre os detalhes em nosso artigo Algoritmos eficientes para divisão de vara sem inveja com menos cortes (por Reitzig e Wild, 2015).

Como o @randomA sugeriu, procederemos em duas fases: primeiro encontramos o conjunto de palitos que serão cortados e, em seguida, minimizamos o número de cortes.

Como no caso especial da pergunta, classificamos / os bastões para que . Isso leva tempo . O ( n log n $L_1 \ge L_2 \ge \dots \ge L_n$$O(n\log n)$

Como @ user1990169 apontou, nunca precisamos cortar um pedaço .$i\ge k$

Na primeira fase, empregamos uma pesquisa binária para encontrar o número , , para que as varas possam ser cortadas em pelo menos pedaços de tamanho (mais alguns pedaços menores) , mas os paus não podem ser cortados em pedaços de tamanho . Isso levará tempo .1 ≤ s ≤ k 1 , … , s k L s 1 , … , s - 1 k L s - 1 O ( k log k $s$$1\le s \le k$$1, \dotsc, s$$k$$L_s$$1, \dotsc, s-1$$k$$L_{s-1}$$O(k\log k)$

Se , esse valor é o tamanho ideal e podemos pular a fase dois.$L_{s-1} = L_s$

Caso contrário, sabemos que o tamanho ideal satisfaz e se então resulta do corte de pelo menos um dos paus em pedaços de tamanho igual. A fase dois determinará :L s - 1 > o ≥ L s o > L s o $o$$L_{s-1} > o \ge L_s$$o > L_s$$o$$o$

Para cada bastão , , determine um conjunto de tamanhos candidatos da seguinte maneira: Se cortar em pedaços de tamanho transformar o bastão em pedaços (incluindo o menor, se houver), os candidatos a esse stick são todos os valores , onde e . (Consulte a resposta de @ user1990169 para saber por que esses são os únicos tamanhos de candidatos.)1 ≤ i ≤ s L s r i L $i$$1\le i \le s$$L_s$$r_i$ j≤riL$\frac{L_i}j$$j\le r_i$$\frac{L_i}j<L_{s-1}$

Mantenha para cada tamanho de candidato, com que frequência ele ocorreu. Usando uma árvore de pesquisa balanceada, isso pode ser feito em , pois o número total de tamanhos de candidatos é vinculado por .∑ i r i ≤ 2 $O(k\log k)$$\sum_i r_i \le 2k$

Agora, o tamanho do candidato que ocorre com mais frequência e leva a um corte válido é o que nos fornece a solução ideal. Além disso, se qualquer tamanho candidato levar a um corte válido, qualquer tamanho menor levará a um corte válido também.

Portanto, podemos empregar novamente a pesquisa binária para encontrar o maior tamanho de candidato que leva a um corte válido em . Em seguida, iteramos sobre o conjunto de comprimentos de candidatos até esse limite e encontramos o que possui a maior multidão entre eles em .O ( k $O(k\log k)$$O(k)$

No total, obtemos um tempo de execução em ou , se ignorarmos (ou não precisarmos fazer) a classificação inicial.O ( k log k $O(n\log n)$$O(k\log k)$

Depois de ordenar os palitos na ordem decrescente de seus comprimentos, um palito será cortado apenas se todos os palitos tiverem sido cortados.G 1 , G 2 , . . . L i - $L_i$$L_1, L_2, ... L_{i-1}$

Agora, desde , não faremos nenhum corte nos paus diante, pois sempre podemos ter paus com comprimento .L k k L $k < n$$L_{k}$$k$$L_{k}$

Portanto, agora, em vez de , estamos lidando apenas com sticks (possivelmente adicionando o -ésimo stick como um todo) e o número máximo de cortes que serão necessários no pior caso .k - 1 k = k - $n$$k-1$$k$$= k-1$

Além disso, se o número ideal de cortes for , deve haver pelo menos um conjunto de varas entre as varas que devem ser tomadas como um todo a partir de 1 vareta originalk - $< k-1$$k-1$ (em partes ou em 1 peça) , ou seja, nenhuma parte desse manípulo original deve ser deixada sem uso. Isso ocorre porque, pelo princípio do buraco do pombo , deve haver pelo menos 1 corte que deverá produzir mais de um bastão válido.

Em seguida, você pode realizar dois loops aninhados (ambos até ). O loop externo deve indicar o número do bastão cujas partes devem ser tomadas e o loop interno, o número de partes feitas desse bastão. Para cada tamanho verifique se você pode obter k sticks viáveis ​​cortando os sticks diante sequencialmente e, se puder, atualize os cortes mínimos necessários até o momento, se o número necessário atual for menor.i j L $k$$i$$j$
L$\frac{L_i}{j}$$L_1$

A complexidade total do algoritmo acima é$O(nlog(n) + k^3)$

A ideia de alto nível seria a busca binária.

O tamanho de cada um dos k sticks solicitados será pelo menos o menor e, no máximo, o maior. Por esse motivo, prosseguimos usando a pesquisa binária no tamanho do bastão do meio, veja qual número podemos obter, se esse for maior que o fornecido , sabemos que precisamos escolher um novo tamanho de candidato de referência. Então, passamos para o maior ou menor usando o novo stick de referência. Paramos quando é menor quek ′ k k ′$k'$$k'$$k$$k'$$k$

Depois de encontrarmos o stick de referência apropriado, há um caso de canto em que precisaríamos refinar ainda mais o tamanho. Podemos classificar todas as varas cortadas pelo número de cortes nelas e pelo tamanho da vareta. Escolha aquele com o menor número de cortes e o menor tamanho. Reduza o número de cortes neste bastão em 1 e faça com que todos os sub-bastões sejam iguais. Esse será o novo tamanho de referência, verifique se esse novo tamanho pode levar a aceitável . Eu admito, não sei como limitar o tempo de execução neste caso.$k'$

Felizmente, posso ver algo útil em outras respostas.