Encontrar uma testemunha pode ser difícil para NP, mesmo se já sabemos que existe uma?

Os exemplos comuns de problemas difíceis de NP (clique, 3-SAT, cobertura de vértices etc.) são do tipo em que não sabemos se a resposta é "sim" ou "não" anteriormente.

Suponha que tenhamos um problema no qual sabemos que a resposta é sim, além disso, podemos verificar uma testemunha em tempo polinomial.

Podemos sempre encontrar uma testemunha no tempo polinomial? Ou esse "problema de pesquisa" pode ser difícil para NP?

TFNP é a classe de funções de valores múltiplos com valores polinomialmente verificados e com garantia de existência.

Existe um problema no TFNP que está completo no FNP se e somente se NP = co-NP, consulte o Teorema 2.1 em:

Nimrod Megiddo e Christos H. Papadimitriou. 1991. Sobre funções totais, teoremas da existência e complexidade computacional. Theor. Comput. Sci. 81, 2 (abril de 1991), 317-324. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (91) 90200-L

e as referências [6] e [11] dentro. PDF disponível aqui .

Não, nem sempre é possível encontrar uma solução em tempo polinomial, mesmo se você souber que existe uma solução.

De acordo com Khanna, Linial e Safra [1] (veja o terceiro parágrafo), segue-se já do trabalho clássico de 1972 de Karp que a coloração de um gráfico de três cores com três cores é NP-hard. (O trabalho deles estende isso para mostrar que os gráficos de 4 cores e 3 cores ainda são difíceis de NP).

Observe que isso não contradiz a resposta de Rahul Savani . Isso ocorre porque, para todas as relações binárias no FNP, devemos poder verificar em tempo polinomial se P ( x , y ) está na relação. Dado que decidir se um gráfico de 3 cores com 3 cores é NP-completo, é improvável que o problema de encontrar uma coloração 4 em um gráfico de 3 cores esteja no FNP, pois não podemos verificar a validade da entrada x em tempo polinomial . Assim, não há contradição com o resultado de Megiddo-Papadimitriou.$P$$P(x,y)$$x$

[1] Khanna, Sanjeev, Nathan Linial e Shmuel Safra. "Sobre a dureza de aproximar o número cromático." Theory and Computing Systems, 1993., Anais do 2º Simpósio de Israel no. IEEE, 1993.

Se uma relação NP for NP difícil no que diz respeito a
reduções de Turing co-não-determinísticas de tempo polinomial apenas com resposta sim , então$\: NP = coNP \;$.




Prova:



se uma relação NP for NP-difícil em relação a
reduções de Turing co-não-determinísticas de tempo polinomial apenas com resposta sim , então:

Vamos haver uma relação tão difícil, e deixar M ' haver uma redução de Turing-sim-resposta somente co-não-determinístico de tempo polinomial de S A T para R .$R$$M'$$SAT$$R$$\:$Seja o algoritmo coNP dado por: $M$
$\;$Tente analisar o suposto anti- certificado em um certificado e respostas internos.
$\;$Se isso falhar, envie YES; tente executar no anti-certificado interno, fornecendo $M'$
$\;$ a mesma resposta que foi dada anteriormente para consultas repetidas e usando as respostas de
$\;$ o anti-certificado (externo) para todas as outras consultas do oracle. $\:$Se tornaria mais distinto $M'$
$\;$consultas que não o número de respostas ou qualquer uma de suas consultas não seriam relacionadas por a $R$
$\;$a resposta dessa consulta ou produziria SIM, o M gera SIM, caso contrário, M gera NO. Como ser um oráculo para R apenas impõe condições independentes às respostas do oráculo e M ' é uma redução apenas de resposta sim, os pares de consulta-resposta produzidos por M ' e um anti-certificado válido sempre podem ser estendidos a um oráculo para R , então M resolve S A $M'$$M$$M$
$R$
$M'$$M'$
$R$$M$$SAT\hspace{-0.02 in}$.
portanto$\: SAT\in coNP \;$.
Desde é N P -Hard com respeito à redução de tempo polinomial deterministas,$SAT$$NP$$\: NP\subseteq coNP \;$.
Por simetria,$\: coNP \subseteq NP \;$. $\;\;\;\;$ portanto $\: NP = coNP \;$.


Portanto, se uma relação NP for NP difícil no que diz respeito a
reduções de Turing co-não-determinísticas de tempo polinomial apenas com resposta sim , então$\: NP = coNP \;$.

Isso depende um pouco sobre a interpretação precisa da sua pergunta, mas eu acho que o cenário pode ser genericamente descrito como um problema 'COMPUTE Y', onde deu algum algoritmo universalmente fixo polinomial tempo e polinomial p , na entrada ⟨ x , 1 n ⟩ , saída uma string y ∈ { 0 , 1 } p ( n ) , de modo que T ( x , y , 1 n ) produz 1, e y sempre existe para todos os x possíveis .$T$$p$$\langle x, 1^n \rangle$$y \in \{0,1\}^{p(n)}$$T(x,y,1^n)$$y$$x$

$P = NP$

$A$$A(\phi) = 1$$\phi$$A(\phi)=0$$\bar{A}$$\bar{A}(\phi) = 0$$\phi$$\bar{A}(\phi) = 1$$\phi$ é insatisfatório.

$\bar{A}$$y$$T$$NP = coNP$

$NP = coNP$$NP$$k$$NP$