Gerando restrições para resolver metavariáveis de tipo dependente?

Nos tipos dependentes, a unificação de padrões de Miller é usada para resolver um fragmento decidível da unificação de ordem superior. Isso permite que idiomas de tipo dependente contenham metavariáveis ou argumentos implícitos.

Existem muitos trabalhos que descrevem, dado um problema de unificação no fragmento de padrão, como encontrar uma solução, se houver. Os exemplos incluem (Gundry-McBride) , (Abel-Pientka) e o artigo original de Miller .

O que eu queria saber é que, dado um programa dependente de digitação que contém metavariáveis (ou argumentos implícitos), como alguém gera os problemas que são passados para o solucionador de unificação?

reference-request lambda-calculus type-theory dependent-types unification jmite
fonte

Você já olhou a tese de Norell? cse.chalmers.se/~ulfn/papers/thesis.pdf

adamse

A idéia básica é que você verifique o tipo bidirecional, mas unifique com metas em vez de usar o caso.

Fread2281

@amamse Tenho, apesar de admitir, que tive muita dificuldade para entender e ver onde as restrições reais são geradas.

jmite

eb.host.cs.st-andrews.ac.uk/drafts/impldtp.pdf descreve a elaboração de Idris e pode ter um pouco do que você deseja, seção 4 em particular

Edwin Brady

Para implícitos, você precisa ser capaz de lidar com os buracos, também conhecidos como meta-variáveis, nos tempos de certificação G | - t: A. No pior dos casos, você acaba com o problema de habitação. pt.wikipedia.org/wiki/Type_inhabitation

Mostowski Collapse

Respostas:

Há um bom idioma, que é explicado mais no capítulo 22 de Tipos e linguagens de programação (é usado para polimorfismo em vez de tipos dependentes, mas a idéia é a mesma). O idioma é o seguinte:

Um sistema de verificação de tipo pode ser transformado em um sistema de inferência de tipo , tornando as regras lineares e adicionando restrições .

Vou usar a regra do aplicativo como exemplo. A regra de verificação em tipos dependentes é esta:

\frac{Γ ⊢ t : Π x : A . B Γ ⊢ u : A}{Γ ⊢ t u : B [u / x]}

$\frac{\Gamma \vdash t:\Pi x:A.B\quad \Gamma\vdash u:A}{\Gamma\vdash t\ u: B[u/x]}$

A linearização dessa regra requer renomear as 2 ocorrências de $A$ , de modo que obtemos:

\frac{Γ ⊢ t : Π x : A_{1} . B Γ ⊢ u : A_{2}}{Γ ⊢ t u : B [u / x]}

$\frac{\Gamma \vdash t:\Pi x:A_1.B\quad \Gamma\vdash u:A_2}{\Gamma\vdash t\ u: B[u/x]}$

Mas isso não está mais correto! Precisamos adicionar a restrição $A_1\simeq A_2$ :

\frac{Γ ⊢ t : Π x : A_{1} . B Γ ⊢ u : A_{2}}{Γ ⊢ t u : B [u / x]} A_{1} ≃ A_{2}

$\frac{\Gamma \vdash t:\Pi x:A_1.B\quad \Gamma\vdash u:A_2}{\Gamma\vdash t\ u: B[u/x]}\quad A_1\simeq A_2$

Observe que $\simeq$ denota módulo de equivalência sua relação de conversão ( $\beta\eta$ , normalmente), assim como na regra de conversão, mas agora é uma restrição de unificação , pois você pode ter meta-variáveis em seus termos.

No curso da verificação de tipo, você acumulará restrições como essas, para potencialmente resolvê-las todas de uma vez no final (ou mais cedo por razões de eficiência).

Agora as coisas podem ficar mais complicadas, porque o tipo de $t$ em si poderia ser uma meta-variável no contexto! Uma regra mais geralmente aplicável seria, portanto,

\frac{Γ ⊢ t : C Γ ⊢ você : {UMA}_{2}}{Γ ⊢ t você : B [você / x]} C ≃ Π x : {UMA}_{1 1} . B, {UMA}_{1 1} ≃ {UMA}_{2}

$\frac{\Gamma \vdash t:C\quad \Gamma\vdash u:A_2}{\Gamma\vdash t\ u: B[u/x]}\ C\simeq \Pi x:A_1.B,\ A_1\simeq A_2$

Ou, como alternativa, mantendo a regra anterior e adicionando a regra

\frac{}{Γ_{1 1}, x : C, Γ_{2} ⊢ x : UMA} C ≃ UMA

$\frac{}{\Gamma_1, x:C, \Gamma_2 \vdash x: A} C\simeq A$

no tempo de pesquisa variável.

Outra observação útil é que, no sistema de verificação , a regra de conversão precisa ser aplicada apenas antes dos aplicativos e, possivelmente, uma vez no final da derivação. Como essas regras correspondem a uma restrição de unificação no sistema de inferência , isso indica onde colocar as restrições.

cody
fonte

Isso é muito útil. Você conhece alguma referência que descreva um sistema completo para isso? Em particular, estou tendo problemas para gerar restrições para expressões lambda, lidando com as variáveis livres dos tipos Pi.

jmite

Temos um artigo sobre o arXiv que fornece detalhes minuciosos. Você provavelmente estaria mais interessado na seção 3.5, embora eu tenha medo que não seja tão didático quanto eu gostaria.

Cody

@ j4nbur53: está correto, você realmente precisa resolver essa restrição em geral. Na maioria das vezes, porém, obter o tipo de

t

$t$ como um

Π

$\Pi$ -type é bastante fácil, e o correspondente

B (x)

$B(x)$ vem como consequência. Essa idéia está implícita na noção de verificação de tipo bidirecional .

Cody

De fato quero dizer

B (x)

$B(x)$ , pois é isso que você está procurando (obtendo

B (u)

$B(u)$ é trivial a partir daí). Não sei ao certo o que você quer dizer com "(=) / 2 introdução". No primeiro link, o sistema com restrições é linear.

Cody

No artigo, assumimos qualquer coisa, incluindo

t

$t$ , pode ser uma meta-variável. Nesse caso, e na ausência de restrições adicionais sobre

t

$t$ , consideramos que o problema está sub-restrito e fornecemos uma mensagem de erro (como seria Coq). Eu argumentaria que esse é o comportamento correto. Obviamente, se o tipo de

t

$t$ nessa situação é, por exemplo, o testemunho de uma habitação de classe de tipo, então você desejará uma rotina especializada para procurar esse habitante.

03/03

Se você modelar os termos lambda por meio de índices deBruijn e as meta-variáveis por meio de variáveis Prolog, poderá criar um solucionador de restrições Prolog. Aqui está um exemplo que já funciona muito bem, as restrições básicas usadas são as seguintes:

% shift (+ Indexado, + Nat, + Nat, -Indexado)
% subst (+ Indexado, + Nat, + Indexado, -Indexado)
% de redução (+ Indexado, + Indexado, -Indexado)
https: //gist.github. com / jburse / 0ccd12698bfa24ce5c36 # file-implicit2-p

Todo o maquinário também assume que lutamos por formas normais, pois reduzimos beta em uma determinada ordem. Há uma interação entre o normalizador e como novas restrições acima são geradas. Como reduzir um redex pode exigir reavaliação da normalização.

O solucionador de restrições já implementa algumas simplificações de restrições cruzadas, sem essas simplificações e apenas com um atraso de restrição, o solucionador de restrições seria burro demais e praticamente não utilizável. Ainda estamos planejando adicionar mais uma ou duas simplificações. Um tesouro para simplificações é o seguinte artigo:

Teoria Residual em λ-calculus
A Desenvolvimento Formal, Gerard Huet, 1998
http://pauillac.inria.fr/~huet/PUBLIC/residuals.pdf

No artigo, encontramos também as definições indutivas originais das restrições que estávamos usando. Consulte as seguintes seções:
2.2 Elevação
2.3 Substituição
3.1 Redução β de uma etapa

Aviso: Os termos deBruijn nos ajudam na igualdade dos termos normais, não precisamos de nenhuma etapa para a conversão alfa. Mas usamos um tipo dependente não nivelado, portanto, por exemplo, não há distinção entre tipos e tipos sob o capô. Isso torna todo o empreendimento especialmente simples; por outro lado, isso não é padrão.

Tchau

Mostowski Collapse
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Portanto, você não usa a unificação de Prolog para suas metas representadas como variáveis de Prolog e resolve suas próprias restrições?

Saizan

Gerando restrições para resolver metavariáveis ​​de tipo dependente?

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