Por que rejeitamos máquinas de turing que usam espaço menor que o log do comprimento da entrada?

Em complexidade computacional: Abordagem moderna de Arora e Barak , é mencionado que

No entanto, exigiremos que $S(n)> \log n$ desde que a fita de trabalho tenha comprimento $n$, e gostaríamos que a máquina conseguisse pelo menos lembrar o índice da célula da fita de entrada que está lendo no momento.

O que isso significa exatamente ? Não entendi o que significa " lembrar o índice da célula atualmente lida pelo cabeçalho da fita de entrada"? Algum esclarecimento?

Observe que não contamos os movimentos da fita de entrada em nossas considerações de espaço, portanto, contamos apenas para a fita de trabalho

Considere qualquer programa em linguagem de alto nível que tenha um loop que percorra todos os itens:

for i from 1 to n
    do something
end for

A implementação desse loop leva $O(\log n)$ espaço de trabalho, uma vez que a variável $i$ leva $O(\log n)$bits para armazenar. Se você não tem permissão para usar essa quantidade de memória, deve ter muito cuidado ao implementar qualquer algoritmo não trivial, se for possível; por exemplo, qualquer resultado será altamente dependente da definição exata do modelo de computação.

Arora e Barak não querem se concentrar em tais questões, então eles assumem que você recebe pelo menos espaço logarítmico. Há coisas interessantes o suficiente para se dizer sem ter que se preocupar se alguma redução geral pode ser realizada no espaço sublogarítmico. (E se você deseja estudar linguagens regulares - linguagens que podem ser reconhecidas com espaço constante -, não precisa da teoria da complexidade.)