Reduzindo o fluxo máximo para a correspondência bipartida?

Há uma redução famosa e elegante do problema de correspondência bipartida máxima para o problema de fluxo máximo: criamos uma rede com um nó de origem , um nó terminal e um nó para cada item a ser correspondido e, em seguida, adicionamos arestas apropriadas.$s$$t$

Certamente, existe uma maneira de reduzir o fluxo máximo para a correspondência bipartida máxima em tempo polinomial, pois ambos podem ser resolvidos individualmente em tempo polinomial. No entanto, existe uma redução "agradável" do tempo polinomial do fluxo máximo (em gráficos gerais) para a correspondência bipartida máxima?

Curiosamente, nenhuma redução é conhecida. No entanto, em um artigo recente, Madry (FOCS 2013), mostrou como reduzir o fluxo máximo em gráficos de capacidade unitária para (logaritmicamente muitas instâncias de) correspondência máxima em gráficos bipartidos.$b$

Caso você não esteja familiarizado com o problema de correspondência máxima , esta é uma generalização da correspondência, definida da seguinte forma: a entrada é um gráfico (no nosso caso, um gráfico bipartido), e um conjunto de demandas integrais para cada vértice, com a demanda do vértice denotada por . O objetivo é encontrar o maior conjunto possível de arestas modo que nenhum vértice tenha mais do que arestas no incidente em . É um exercício simples generalizar a redução da correspondência bipartida para fluxos máximos e mostrar uma redução semelhante da bipartidaG = ( V , E ) v b v S v b v S v $b$$G=(V,E)$$v$$b_v$$S$$v$$b_v$$S$$v$$b$-comparando com fluxos máximos. (Uma das) o surpreendente resultado (s) de papel de Madry é que, em algum sentido estes problemas são equivalentes, dando uma redução simples que reduz o fluxo máxima em gráficos unidade de capacidade (em geral, os gráficos onde a soma das capacidades, é linear no número de arestas, m ) a um problema de correspondência b em um gráfico com nós O ( m ) , vértices e soma de demandas.$|u|_1$$m$$b$$O(m)$

$b$$u_e$$e$

Então, aqui está uma tentativa de responder à sua pergunta:

$p\in P$$q \in Q$$p\in P$$q\in Q$$G_{∗}$$\infty$$e \in E$$f_{x}$$G_{∗}$$f_{x}$$pq \in M$$G_{∗}$$\cup (Q \cap R)$$|Q \cap R|$

Quero dizer, isso é tudo na minha opinião que você perguntou na pergunta e esta é minha resposta potencial :).