Por que A implica B verdadeiro se A é falso e B é falso?

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Parece-me que o "implica" no idioma inglês não significa a mesma coisa que o operador lógico "implica", de maneira semelhante como a palavra "OR" na maioria dos casos significa "OR exclusivo" em nosso uso cotidiano da linguagem.

Vamos dar dois exemplos:

Se hoje é segunda-feira, amanhã é terça-feira.

Isso é verdade .

Mas se dissermos:

Se o sol é verde, então a grama é verde.

Isso também é considerado verdade. Por quê? Qual é a 'lógica' em inglês natural por trás disso? Isso me deixa louco.

yoyo_fun
fonte
10
Porque implicação é sobre preservação da verdade . Se for falso, não há verdade a ser preservada. A
Rodrigo de Azevedo
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A lógica booleana não tem nada a ver com o idioma inglês.
Yuval Filmus
8
Já incluída no Math Pilha de câmbio neste segmento e outras relacionadas: math.stackexchange.com/questions/48161/...
Nayuki
8
Essa abordagem de troca de pilha de filosofia também é relevante: por que os condicionais com antecedentes falsos são considerados verdadeiros?
Duplode 26/11
2
@MHH ah, certo. "Se x> 5, então x> 3" é verdadeiro não vazio, "se 2> 5, então 2> 3" é uma implicação verdadeira (premissa falsa), mas não está vazia porque não há um conjunto vazio envolvido.
eques

Respostas:

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Os seres humanos são ruins em lógica até que tenham que empregá-la para descobrir os assuntos humanos. Pense em " se entãoBAB " como uma espécie de promessa: "Eu prometo a você que se você fizer , eu farei ". Promessa de tal não diz nada sobre o que eu poderia fazer se você não conseguir fazer . Na verdade, eu poderia fazer qualquer maneira, e isso não me faria um mentiroso.B A BABAB

Por exemplo, suponha que sua mãe lhe diga:

Se você limpar seu quarto, farei panquecas.

E digamos que você não limpou o quarto, mas quando entrou na cozinha sua mãe estava fazendo panquecas. Pergunte a si mesmo se isso faz de sua mãe uma mentirosa. Isso não! Ela seria uma mentirosa apenas se você limpasse o quarto, mas ela se recusasse a fazer panquecas. Pode haver outras razões pelas quais ela decidiu fazer panquecas (talvez sua irmã tenha limpado o quarto). Sua mãe não lhe disse: "Se você não limpar o quarto, não vou fazer panquecas", ela disse?

Então, se eu disser

"Se o sol é verde, então a grama é verde."

isso não me faz mentirosa. O sol não é verde (você não limpou a sala), mas a grama ficou verde de qualquer maneira (mas sua mãe fez panquecas de qualquer maneira).

Andrej Bauer
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Isso não faria de você um mentiroso, mas também de um contador de verdade. Por que você não diz a verdade honesta, que é puramente uma convenção? Todo mundo no planeta parece ter medo de dizê-lo (exceto para o usuário que postou a outra resposta desta página) ...
Mehrdad
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O que você está se referindo quando você salts " isso é puramente uma convenção"? O significado da implicação? Claro, mas você está errado quando diz que é puramente uma convenção, como se o significado de implicação fosse algum tipo de lixo arbitrário que um burocrata inventou. As convenções (se você quiser chamá-las assim) em matemática existem por uma boa razão. Eles são úteis e ajudam a explicar as coisas. Eles estão longe de ser arbitrários, e é por isso que é intelectualmente desonesto assumir a posição de que "tudo é apenas uma convenção". Faz de você um troll.
Andrej Bauer 26/11
Respirar é apenas uma convenção. ;-)
jpaugh 26/11
2
<span style = "voice: samuel-jackson"> Você acha que é o ar que está respirando? </span> #
Andrej Bauer #
2
@AndrejBauer - ... uh, eu acho que você quer dizer style="voice: laurence-fishburne"..
Mark Rogers
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É uma convenção - podemos usar outra, mas essa é conveniente. Aqui está o que Terence Tao diz :

Isso é discutido no apêndice A.2 do meu livro [Análise 1]. A noção de implicação usada na matemática é a implicação material, que em particular atribui um valor verdadeiro a qualquer implicação vazia. Pode-se, é claro, usar uma convenção diferente para a noção de implicação, no entanto, a implicação material é muito útil para o objetivo de provar teoremas matemáticos, pois permite usar implicações como "se A, então B" sem precisar verificar primeiro se A é verdadeiro ou não. A implicação material também obedece a várias propriedades úteis, como a especialização: se, por exemplo, se sabe para cada x que P (x) implica Q (x), então pode-se especializá-lo com um valor específico dex 5 x 225 x 3 5 3 225x, diga 3 e conclua que P (3) implica Q (3). Observe que, ao fazer isso, uma implicação não-vazia pode se tornar uma implicação vazia. Por exemplo, sabemos que implica para qualquer número real ; especializando isso no número real 3, obtemos a implicação vazia de que implica .x5x225x353225

A maneira como gosto de pensar nas implicações materiais é a seguinte: a afirmação de que A implica B está apenas dizendo que "B é pelo menos tão verdadeiro quanto A". Em particular, se A é verdadeiro, então B também deve ser verdadeiro; mas se A for falso, a implicação material permite que B seja verdadeiro ou falso, e, portanto, a implicação é verdadeira, não importa qual seja o valor de verdade de B.

Hatshepsut
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Essa afirmação soa bem até você perceber que a intuição que está invocando não é realmente verdadeira. Pense em algo como "Se alienígenas vagam pela Terra, então eu sou um alienígena" ... eu estaria muito mais inclinado a acreditar que alienígenas vagam pela Terra do que eu próprio sou um alienígena ...
Mehrdad
1
"Se alienígenas vagam pela Terra, então eu sou alienígena" não é uma implicação verdadeira; isto é, q não segue de p normalmente. Isso é diferente de se p for falso, a implicação é verdadeira
igual a
@Mehrdad não deveria ser "Se eu sou um alienígena, os alienígenas vagam pela Terra"?
Paŭlo Ebermann 27/11
@eques: "Se o sol nascer amanhã, eu vou me levantar de manhã" ... Eu apostaria que se o sol não nascer amanhã eu ainda me levanto de manhã (exceto outros efeitos do sol desaparecer ) Mas as pessoas dizem coisas assim de qualquer maneira.
Mehrdad 28/11
As pessoas do @Mehrdad dizem coisas que não são logicamente rigorosas o tempo todo; isso não significa que as regras da lógica não sejam boas. E se alguém ainda acorda de manhã, mesmo que o sol não tenha nascido, não contraria suas implicações. A implicação ainda é verdadeira
igual a
10

"A implica B" significa (abreviado) "se A é verdadeiro, então B é verdadeiro".

Significa (um pouco mais) "se A é verdadeiro, então afirmo que B é verdadeiro; se A é falso, não faço qualquer afirmação sobre B".

Agora pegue "Se o sol é verde, então a grama é verde".

Na forma longa, é traduzido para "Se o sol é verde, afirmo que a grama é verde; se o sol não é verde, não reivindico a cor da grama". Como o sol não é verde, não reivindico a cor da grama.

gnasher729
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Portanto, se você não faz nenhuma reivindicação em relação à grama, isso significa que tudo é verdadeiro para a grama ... mas como isso é equivalente a "Eu não reivindico a grama"?
yoyo_fun
O operador lógico 'implícito' pode ser modelado usando conjuntos como o resto dos operadores?
yoyo_fun
1
@yoyo_fun é equivalente a e você pode modelá-lo da mesma forma. ¬ A BAB¬AB
Hbbs
1
@yoyo_fun Não reivindicar a grama não significa que tudo esteja errado. grama é verdadeira! (A grama está viva; a grama está morta não pode ser verdadeira.) No contexto, o que isso significa é: "Se o sol não é verde, a declaração original não nos fornece nenhuma informação sobre a grama."
jpaugh
6

Vamos dar um exemplo. Suponha que queremos expressar que é o único elemento do conjunto que satisfaz propriedade . Então podemos escrever que qualquer elemento de que satisfaça deve ser igual a . Ele não reivindica nada sobre elementos que não correspondam . Se não satisfaz e é diferente de então é falso é falso e, portanto, é verdadeiro, como no seu exemplo.S P x SaSPx P a P b P a P ( b ) b = a P ( b ) b = a

xSP(x)x=a
xPaPbPaP(b)b=aP(b)b=a
Yuval Filmus
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3
Esta é a melhor resposta. Como exemplo: a afirmação "se um animal é um gato, então é um mamífero" é verdadeira mesmo que existam animais que são mamíferos, mas não gatos, e animais que não são gatos nem mamíferos.
Jadhachem #
4

É importante notar que muitas formas de lógica não têm conceito de cronologia ou causalidade. Se algo é verdade, então - dentro de seu contexto - foi e continuará sendo verdadeiro para sempre. Dizer que X implica Y não significa, em nenhum sentido, que X fará com que Y seja verdadeiro. Significa apenas que X não pode ser verdadeiro sem que Y também seja verdadeiro, e Y não pode ser falso sem que X também seja falso.

Descrever utilmente as relações causais no mundo real requer algo além dos construtos usados ​​na lógica "atemporal". Um conceito como "Para qualquer ação Y tal que X faça com que Y seja razoável, Y será considerado razoável" pode ser útil em um universo causal, mesmo que X possa ser falso, mas o operador de implicação explode completamente nesses casos. Se alguém dissesse "X implica que Y será considerado razoável" e se constatou que X nunca foi verdadeiro, isso implicaria que todas as ações seriam consideradas razoáveis.

Não sei ao certo quais formas de lógica incluem as construções necessárias para permitir declarações que envolvem causalidade unidirecional, mas reconhecendo que a definição lógica de "implica" não reconhece os conceitos de tempo e causalidade, tornando mais fácil entender por que eles se comportam. de maneira contra-intuitiva.

supercat
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1

Ao usar o Implication In English, não se trata das coisas ou objetos que consideramos.

sungreengrassgreen

O sol é apenas um objeto aqui, não faça apegos emocionais a ele, que o sol não pode ser verde.

SGGG

>

Isso parece menos confuso do que quando se escreve em inglês.

iambruv
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O que "apego emocional" tem a ver com alguma coisa? E como a ortografia dos objetos respondeu de maneira diferente à pergunta?
Lightness Races com Monica
@LightnessRacesinOrbit É apenas para alguns alunos que vêem as coisas emocionalmente, em vez de serem orientadas pela lógica. E me desculpe qual ortografia está errada ??
Iambruv 27/11
Não disse que sua ortografia estava errada. Estou perguntando por que respeitar o "sol" como S, o "verde" como Ge a "grama" GGmudam tudo.
Lightness Races com Monica
@LightnessRacesinOrbit Oh, é apenas para convencer, nada mais. Às vezes nos confundimos quando sentenças são dadas como algumas canetas são lápis, todos os lápis são papagaios, nenhum papagaio é um pássaro. Por isso, prefiro usar esse tipo de símbolo para fazer com que eu pare de visualizar como todos os lápis estão relacionados a ser pássaro, porque eles são apenas objetos que não têm significado com lápis ou pássaro.
Iambruv
Sim, eu ainda não vejo como isso responde à pergunta, mas ok
Leveza raças com Monica
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Para colocar sua cabeça no lugar certo para a minha resposta, quero mencionar o que gosto de chamar de teorema dos macacos voadores ou o que a Wikipedia gosta de chamar de princípio da explosão , que afirma:

(p¬p)q

2+2=4 2+2=54=50=116=251=01=1abusando de uma divisão oculta por zero , porque você não pode dividir por zero para poder fazer o que quiser.


pFTFF

durron597
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2
PQPQ Q
r=¬q(p¬p)q(p¬p)r