Imagem geométrica por trás dos expansores quânticos

(também solicitado aqui , sem respostas)

Um expansor de quantidade é uma distribuição sobre o grupo unitário com a propriedade que: a) , b) , onde \ mu_H é a medida de Haar. Se, em vez de distribuições por unidades unitárias, consideramos distribuições por matrizes de permutação, não é difícil ver que recuperamos a definição usual de um gráfico expansor d- regular. Para obter mais informações, consulte, por exemplo: Expansores de produtos com tensores quânticos eficientes e projetos k da Harrow e Low.$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$

Minha pergunta é: os expansores quânticos admitem algum tipo de interpretação geométrica semelhante aos expansores clássicos (onde gap espectral $\sim$ isoperimetria / expansão do gráfico subjacente)? Não defino formalmente "realização geométrica", mas conceitualmente, poder-se-ia esperar que um critério puramente espectral pudesse ser traduzido para alguma imagem geométrica (que, no caso clássico, é a fonte de riqueza matemática desfrutada pelos expansores; estrutura matemática do quantum expansores parecem ser muito mais limitados).

[Esta resposta foi copiada da minha resposta no site de troca de pilha teórica agora extinta.] Para expansores clássicos, a definição espectral pode ser expressa em termos do segundo menor valor próprio do gráfico Laplaciano, que pode ser considerado o mínimo de uma forma quadrática sobre todos os vetores unitários ortogonais ao vetor all-ones. Se restringirmos essa minimização a vetores da forma (a, a, ..., a, b, b, ..b), isso produzirá a expansão da aresta do gráfico. aqui está uma discussão. A equivalência grosseira dessas duas definições é conhecida como desigualdade de Cheeger .

Isso sugere que, para o caso quântico, devemos considerar a ação do canal (formada pela aplicação de uma unidade aleatória do expansor) nos projetores. Um resultado análogo à desigualdade de Cheeger é derivado no Apêndice A do arXiv: 0706.0556 .

Por outro lado, embora isso seja matematicamente análogo, ainda conhecemos muito menos aplicações de expansores quânticos do que os expansores clássicos.