Invariantes algébricos (ou numéricos) de classes de complexidade

Espero que esta pergunta não seja muito ingênua para este site.

Em matemática (topologia, geometria, álgebra), é comum distinguir entre dois objetos criando uma invariante algébrica ou numérica e provando que os dois objetos têm valores diferentes. Estou me perguntando até que ponto isso foi tentado com classes de complexidade (ou, se houver, por que nunca ouvi falar sobre isso). As estruturas algébricas aparecem muito na ciência da computação teórica como um todo (cf. Usos das estruturas algébricas na ciência da computação teórica ), então por que não na teoria da complexidade?

Na minha ingenuidade, posso imaginar uma noção de equivalência de duas línguas: a existência de uma redução no tempo polinomial que também é reversível (ou uma bijeção nas cordas). Também posso imaginar que essa noção é inadequada: nenhuma linguagem finita de cardinalidade diferente poderia ser considerada equivalente, mesmo que estejamos mais interessados ​​em línguas infinitas.

Existem outras noções mais fracas de isomorfismo das línguas que produziram resultados interessantes? Existem outros tipos de invariantes com sabor numérico que foram usados ​​para distinguir classes de complexidade?

Primeiro, a relação que você definiu é geralmente chamada isomorfismo no tempo polinomial ( ). Embora o isomorfismo seja uma noção interessante que foi estudada, a relação (mais fraca) que preocupa mais frequentemente a complexidade é a equivalência polinomial-tempo : A e B são equivalentes ( A ≡ p m B ) se houver muitas variáveis ​​polinomiais. uma redução (também conhecida como reduções de Karp) de A para $\cong^p$$A$$B$$A \equiv_m^p B$$A$$B$e vice-versa, mas essas reduções não precisam ser inversas entre si e nem precisam ter inversões de tempo polinomial. Às vezes a gente também se preocupam com equivalência ao abrigo polinomial-time Turing reduções em vez de muitos-um ( ), também conhecido como reduções Cook. Por exemplo, qualquer uma dessas noções de equivalência é "boa o suficiente" para P vs N P (ou seja, você não precisa considerar as classes de isomorfismo).$\equiv_T^p$$P$$NP$

Da perspectiva da equivalência polinomial-temporal, existe uma "boa razão" parcial que você não ouve sobre invariantes numéricos: eles não podem funcionar em geral. Um teorema da tese de Andrew Marks afirma que é completo para relações de equivalência contáveis ​​de Borel (a introdução de sua tese fornece uma boa visão geral das relações de equivalência de Borel e seu significado). Em particular, isso implica que não há função Borel f : 2 N → R tal que A ≡ p T B iff f ( A ) = f ( B $\equiv_T^p$$f: 2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$A \equiv_T^p B$$f(A) = f(B)$.

A razão por que dizer que esta é apenas parcialmente uma boa razão é que pode haver ainda uma função Borel tal que, se f ( A ) ≠ f ( B ) , em seguida, uma ≢ p T B . Ou pode haver uma função não Borel que faça o trabalho, mas se houver, é pouco provável que a encontremos ...$f:2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$f(A) \neq f(B)$$A \not\equiv_T^p B$

Mas classificar todas as classes de equivalência também é mais forte do que aquilo que geralmente nos preocupa, uma vez que o número de classes de equivalência que aparecem como classes de complexidade natural é comparativamente pequeno (apesar do tamanho proibitivo do zoológico de complexidade). No entanto, existem outros invariantes "numéricos" que podemos associar a idiomas. Uma delas é a densidade: a densidade de uma linguagem é a função d A ( n ) : = número de strings em A de comprimento ≤ n . Observe que a densidade é preservada, até uma alteração polinomial, por isomorfismos no polio tempo, mas não necessariamente por equivalências no tempo polinomial (por exemplo, todos os idiomas em $A$$d_A(n) :=$$A$$\leq n$$P$são equivalentes ao tempo polinomial, mas podem ter densidades muito diferentes).

Sabemos coisas como: se é polinomialmente escasso ( d Um ( n ) ≤ p o l y ( n ) ), em seguida, um pode não ser N P -completo a menos que P = N P (de Mahaney Teorema). Existem muitos outros resultados sobre linguagens esparsas e sua relação com as classes de complexidade. Para boas pesquisas, consulte Cai e Ogihara "Conjuntos esparsos versus classes de complexidade" na Retrospectiva da teoria da complexidade II (disponível on-line - apenas Google) e o par de artigos de Hemaspaandra e Glaßer "Um momento de perfeita clareza I, II" no SIGACT News.$A$$d_A(n) \leq poly(n)$$A$$NP$$P=NP$

Conforme mencionado por @SureshVenkat, você pode visualizar a Teoria da Complexidade Geométrica à luz do que está falando. No entanto, os objetos algébricos usados ​​ali - ou seja, representações - são mais semelhantes às propriedades gerais de uma linguagem do que às propriedades numéricas per se, mas pelo menos são propriedades de um sabor algébrico.

Finalmente, na teoria da complexidade algébrica, uma propriedade numérica que vale a pena mencionar, mas provavelmente não funcionará para resolver as grandes questões, é o grau. (Como no grau de um polinômio.) O limite de grau de Strassen ainda é o único limite inferior super-linear conhecido em circuitos algébricos irrestritos. O grau também é usado, por exemplo, em Razborov-Smolensky e em muitas outras áreas de complexidade de circuito de baixo nível (booleano).