Por que limites inferiores para circuitos booleanos não implica circuitos aritméticos limites inferiores

Minha pergunta é: por que limites inferiores para circuitos booleanos de profundidade 3 com portas "e" e "xor" para determinantes não implicam os mesmos limites inferiores para circuitos aritméticos sobre ?$\mathbb{Z}$

O que há de errado com o seguinte argumento: Seja um determinante de cálculo do circuito aritmético, e tomando todas as variáveis ​​mod 2, obteremos o determinante de cálculo do circuito booleano. $C$

Para circuitos aritméticos acima de seu argumento é exatamente correto. O mesmo argumento funciona para circuitos aritméticos sobre Q, que não usam nenhuma fração a / b onde b é par.$\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$$a/b$$b$

$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$$\mathbb{F}_{q}$$q \neq 2$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{Z}$$a \vee b = \neg (\neg a \wedge \neg b)$

$f$$R$$\varphi\colon R \to S$$\varphi$$f$$S$$f_S$$f_S$$S$$f$$R$