Esta questão é sobre problemas de programação quadrática com restrições de caixa (box-QP), ou seja, problemas de otimização do formulário
- minimizar sujeito a .
Se fosse semi-definido positivo, tudo seria agradável, convexo e fácil, e poderíamos resolver o problema em tempo polinomial.
Por outro lado, se tivéssemos a restrição de integralidade , poderíamos resolver facilmente o problema no tempo por força bruta. Para os fins desta pergunta, isso é razoavelmente rápido.
Mas e o caso contínuo não convexo? Qual é o algoritmo mais rápido conhecido para QPs gerais em caixa?
Por exemplo, podemos resolvê-los em tempo moderadamente exponencial, por exemplo, , ou a pior complexidade dos algoritmos mais conhecidos é algo muito pior?
Antecedentes: Eu tenho alguns QPs de caixa bastante pequenos que realmente gostaria de resolver e fiquei um pouco surpreso ao ver o desempenho de alguns pacotes de software comercial, mesmo para valores muito pequenos de . Comecei a me perguntar se existe uma explicação do TCS para essa observação.
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Respostas:
Uma solução ideal está em algum rosto. Assim, podemos percorrer todas as faces do cubo e encontrar todos os pontos estacionários em cada uma das faces.
Aqui está um procedimento mais concreto. Uma face do cubo pode ser caracterizada por dois conjuntos de índices disjuntosI0 I1 i∈I0 xi=0 i∈I1 xi=1 x~ x
Para esse fim, adotamos a diferenciação da função objetivo para obter
A solução desse sistema de equações lineares fornece os pontos estacionários, os candidatos a soluções ideais. Examinamos todos eles, verificamos a condição e escolhemos um com o valor objetivo mínimo.
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