Corri para esse problema de correspondência para o qual não consigo escrever um algoritmo de tempo polinomial.
Seja gráficos completos ponderados com conjuntos de vértices e , respectivamente, onde . Além disso, sejam e as funções de peso nas arestas de e , respectivamente.P V Q V | P V | = | Q V | = n w P w Q P Q
Para uma bijeção modificamos da seguinte forma: Se e com e defina . Indique esse gráfico modificado por Q_f e seja W (Q_f) a soma dos pesos da árvore de abrangência mínima de Q_f . Q f ( p ) = q f ( p ′ ) = q ′ w P ( p , p ′ ) > w Q ( q , q ′ ) w Q ( q , q ′ ) w Q ( q , q ′ ) = w P ( p , p ′ ) Q f W ( QQ f
Problema: Minimize em todas as .
Quão difícil é esse problema? Se "difícil": e os algoritmos de aproximação?
Respostas:
(Movido dos comentários) Aqui está uma idéia para obter uma aproximação constante de fatores, assumindo que P e Q satisfazem a desigualdade do triângulo. Eu pensei que poderia dar uma aproximação de 2, mas tudo o que posso provar agora é uma razão de aproximação de 4.
(2) Em , encontre uma árvore de abrangência mínima e use a técnica de tour de Euler com duplicação de caminho para encontrar um caminho com no máximo o dobro do peso. Faça a mesma coisa de forma independente em . O resultado são duas árvores isomórficas (ambos os caminhos) que são separadas, no máximo, duas vezes o peso dos MSTs de seus gráficos e, portanto, no máximo duas vezes o custo da solução para o problema mínimo de extensão de árvore isomórfica e quatro vezes o peso do problema original .QP Q
(3) O problema original é NP-completo, por uma redução do caminho hamiltoniano. Seja definido a partir de um gráfico no qual você deseja testar a existência de um caminho hamiltoniano; defina quando é uma aresta em e quando não é uma aresta. Seja definido exatamente da mesma maneira a partir de um gráfico de caminho. Existe uma solução de custo total se e somente se o gráfico a partir do qual foi definido tiver um caminho hamiltoniano. Provavelmente, isso também pode ser usado para provar a falta de aproximação abaixo de alguma constante fixa.P ( p q ) = 1 p q P 2 p q Q n - 1 PP P(pq)=1 pq P 2 pq Q n−1 P
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