Árvore de abrangência mínima em todas as correspondências de vértices

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Corri para esse problema de correspondência para o qual não consigo escrever um algoritmo de tempo polinomial.

Seja gráficos completos ponderados com conjuntos de vértices e , respectivamente, onde . Além disso, sejam e as funções de peso nas arestas de e , respectivamente.P V Q V | P V | = | Q V | = n w P w Q P QP,QPVQV|PV|=|QV|=nwPwQPQ

Para uma bijeção modificamos da seguinte forma: Se e com e defina . Indique esse gráfico modificado por Q_f e seja W (Q_f) a soma dos pesos da árvore de abrangência mínima de Q_f . Q f ( p ) = q f ( p ) = q w P ( p , p ) > w Q ( q , q ) w Q ( q , q ) w Q ( q , q ) = w P ( p , p ) Q f W ( Qf:PVQVQf(p)=qf(p)=qWP(p,p)>WQ(q,q)WQ(q,q)=WP(p,p)QfQ fW(Qf)Qf

Problema: Minimize W(Qf) em todas as f:PVQV .

Quão difícil é esse problema? Se "difícil": e os algoritmos de aproximação?

MB
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Podemos assumir que os pesos em P e Q satisfazem separadamente a desigualdade do triângulo? Como, em caso afirmativo, encontrar um MST em cada um deles separadamente, formar um tour de Euler para transformá-lo em um caminho aproximado de vendedor ambulante e escolher uma correspondência que corresponda aos vértices nas posições de caminho correspondentes parece ser uma aproximação 2 para o seu problema .
David Eppstein
@ DavidEppstein: sim, os pesos satisfazem a desigualdade do triângulo. Sua ideia parece interessante, obrigado!
MB

Respostas:

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(Movido dos comentários) Aqui está uma idéia para obter uma aproximação constante de fatores, assumindo que P e Q satisfazem a desigualdade do triângulo. Eu pensei que poderia dar uma aproximação de 2, mas tudo o que posso provar agora é uma razão de aproximação de 4.

pqppqqP ( p q ) + Q ( p q ) P Q P Qmax{P(pq),Q(pq)}P(pq)+Q(pq)PQPQ

(2) Em , encontre uma árvore de abrangência mínima e use a técnica de tour de Euler com duplicação de caminho para encontrar um caminho com no máximo o dobro do peso. Faça a mesma coisa de forma independente em . O resultado são duas árvores isomórficas (ambos os caminhos) que são separadas, no máximo, duas vezes o peso dos MSTs de seus gráficos e, portanto, no máximo duas vezes o custo da solução para o problema mínimo de extensão de árvore isomórfica e quatro vezes o peso do problema original .QPQ

(3) O problema original é NP-completo, por uma redução do caminho hamiltoniano. Seja definido a partir de um gráfico no qual você deseja testar a existência de um caminho hamiltoniano; defina quando é uma aresta em e quando não é uma aresta. Seja definido exatamente da mesma maneira a partir de um gráfico de caminho. Existe uma solução de custo total se e somente se o gráfico a partir do qual foi definido tiver um caminho hamiltoniano. Provavelmente, isso também pode ser usado para provar a falta de aproximação abaixo de alguma constante fixa.P ( p q ) = 1 p q P 2 p q Q n - 1 PPP(pq)=1pqP2pqQn1P

David Eppstein
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Obrigado, esta é uma excelente resposta. (Aparentemente, eu não sou elegível para conceder-lhe a recompensa nas próximas 18 horas.)
MB
Que tal usar a -approximation para a - Path TSP (experimente cada e ) para obter as duas árvores (ou seja, caminhos)? Arxiv.org/abs/1110.4604(1+5)/2stsp
Magnus Lie Hetland
Pensando bem, isso só daria uma proporção para o caminho ideal, é claro, não para o MST. Então ... deixa pra lá;)
Magnus Lie Hetland