O problema do isomorfismo de grafos (IG) é sem dúvida o candidato mais conhecido para um problema intermediário de NP . O algoritmo mais conhecido é o algoritmo subexponencial com tempo de execução . Sabe-se que o IG não éNP-completo a menos que ahierarquia polinomialcolapsa.
Quais seriam as consequências teóricas da complexidade de um algoritmo de tempo quase-polinomial para o problema de Isomorfismo de Gráfico?
Um algoritmo de tempo quase polinomial para GI refutaria quaisquer conjecturas famosas na teoria da complexidade?
Outros problemas semelhantes, como o problema Conjunto mínimo de domínio nos torneios, o problema de isomorfismo de grupo e o problema de isomorfismo de torneio, têm algoritmos de tempo quase polinomial ( QP ). Os dois problemas posteriores são reduzidos em tempo polinomial para GI.
Podemos reduzir eficientemente o problema do Conjunto Dominante Mínimo em Torneios para GI?
Existe alguma conjectura que exclua a IG ser difícil para o QP?
Atualização (14-12-2015) : Babai publicou um rascunho preliminar no arXiv para seu algoritmo de tempo quase-polinomial para GI.
Atualização (04-01-2017) : Babai retirou a alegação de que o algoritmo está no tempo quase-polinomial, de acordo com a nova análise, que o algoritmo está no tempo subexponencial que está dentro de2 n o ( 1 ) .
Atualização (09-01-2017) : Babai restabeleceu a reivindicação de tempo quase-polinomial, substituindo o procedimento incorreto por outro mais eficiente.
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Respostas:
Até onde sei, se você perguntar simplesmente sobre as consequências do simples fato (como uma caixa preta) de que o IG está no QP, acho que a resposta é muito pequena. A única coisa em que consigo pensar, que não é um teorema, mas uma consequência para as direções da pesquisa, é agrupar o isomorfismo. Como o GroupIso se reduz a GI e nem sabemos se o GroupIso está em P, colocar o GroupIso em P pode ser visto como um obstáculo importante para colocar o GI em P (se você acha que esse pode ser o caso).
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Mais ou menos semelhantes às conseqüências do algoritmo de tempo polinomial determinístico para testes de primalidade, o algoritmo de tempo polinomial determinístico para programação linear e o outro caso em que algoritmos praticamente eficientes (randomizados) (com exemplos patológicos raros em que o algoritmo se tornou ineficiente) eram conhecidos. e em uso por um longo tempo. Confirma a conjectura de que a eficiência prática é um bom indicador para a existência de algoritmos teóricos determinísticos que superam as questões dos raros exemplos patológicos.
Não, as conjecturas preferem ir para o local oposto, a saber, o IG está em P. Como o IG está em NP, não será possível refutar esse tipo de conjectura tão cedo.
O Conjunto de Dominação Mínimo não é um problema de isomorfismo, portanto, não há razão para que se deva reduzir o IG.
Nem sabemos como reduzir o problema de isomorfismo de cordas para GI, e isso é pelo menos um problema de isomorfismo. A prova de Babai mostrou que o isomorfismo das cordas estava no QP, então ... E o que está sendo difícil para o QP mesmo? Difícil sob reduções de tempo polinomiais?
Da introdução de No grupo e problemas de isomorfismo de cores por François Le Gall e David J. Rosenbaum
Edit: Esta resposta foi dada no contexto da retração do resultado de Babai, antes que ele anunciasse uma correção. Isso sugere que a leve generalização do problema de isomorfismo gráfico sugerida pelo problema de isomorfismo de cordas é o problema realmente importante. A expectativa implícita aqui é que qualquer algoritmo razoável para o problema de isomorfismo de gráfico levará a um algoritmo semelhante para o problema de isomorfismo de gráfico generalizado. O problema generalizado é o tempo polinomial equivalente ao problema do estabilizador de set , o problema de interseção de grupo , o problema de interseção de coset, o problema de transportador de set , ... A idéia por trás dessa expectativa é que o problema generalizado ocorra na parte recursivade qualquer algoritmo razoável, portanto, ele deve ser tratado de qualquer maneira. (E é bem possível que o problema generalizado seja o tempo polinomial equivalente ao isomorfismo do gráfico.)
Agora, os comentários de Joshua Grochow indicam que não tive êxito em explicar a importância conceitual das peças que faltam no problema do isomorfismo das cordas. Para estruturas infinitas, pode ser mais fácil perceber que um isomorfismo válido não deve apenas preservar a estrutura fornecida, mas também pertencer a uma categoria apropriada de funções (por exemplo, a categoria de funções contínuas). Para estruturas finitas, o fenômeno análogo ocorre principalmente para estruturas quocientes, onde a categoria apropriada de funções deve ser compatível com os quocientes especificados. O material de Johnson é um exemplo típico desses quocientes, por exemplo, a lógica da partição está trabalhando nos dois subconjuntos de elementos de um conjunto de bases. Observe também que restringir a categoria permitida para os isomorfismos geralmente facilita o problema do teste de isomorfismo,
O problema com generalizações do problema de isomorfismo do gráfico é onde parar. Por que não generalizar a ponto de abranger o problema de isomorfismo do grupo de permutação? Essa pergunta é realmente difícil, pois muitos resultados não triviais para o isomorfismo de gráfico provavelmente também serão transferidos para o isomorfismo do grupo de permutação. Mas aqui parece mais razoável tratar a teoria dos grupos de permutação computacional como um assunto por si só, mesmo que tenha de fato uma conexão estreita com o problema do isomorfismo gráfico.
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