Pré-requisito para aprender GCT

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Parece que a Teoria da Complexidade Geométrica exige muito conhecimento de matemática pura, como geometria algébrica, teoria das representações.

Embora eu seja estudante de ciências da computação e não tenha aulas de matemática muito abstrata e pura, estou interessado neste programa.

Existe uma lista de "conhecimento mínimo" para aprender esta teoria?

Esta lista inclui notas de aula de departamentos de CS ou matemática, pesquisas de qualquer diário ou conferência e livros didáticos de matemática pura.

[ EDIT: Adicionado mais tarde ] Obrigado por seus comentários.

Teoria geral da computação: li o livro de Sipser com o título "Introdução à teoria da computação"

Teoria da complexidade: Em particular, estou interessado em modelos concretos para limites mais baixos de complexidade. Assim, li a parte dos "limites inferiores concretos" do livro de Arora-Barak. Também tenho conhecimentos básicos nos vários capítulos do livro sobre complexidade da comunicação, escrito por Nisan.

Matemática Básica: Eu aprendi sobre álgebra linear baseada em provas, como definição geral do espaço vetorial etc. e argumento precioso de cálculos com base no argumento epsilon-delta.

Álgebra: Eu aprendi sobre definição e exemplos de grupo, anel e campo. Tive uma aula para alunos de cs e não aprendi sobre a teoria geral desses sistemas algébricos.

syucha
fonte
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ajudaria se você declarasse mais precisamente quanta teoria da complexidade, álgebra linear, álgebra, você sabe. Você também deve indicar seu objetivo. Os requisitos para uma imagem geral de alto nível são diferentes de fazer um projeto na área.
Vijay D
Experimente primeiro a álgebra de graduação, especialmente a álgebra comutativa.
Zeyu

Respostas:

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A resposta curta : o conhecimento realmente mínimo de matemática para entender a primeira metade do plano de TCG, depois de ver um pouco de grupos, anéis e campos, é basicamente apresentado no capítulo 3 da minha tese (vergonha auto-plausível ) Esse capítulo é, no entanto, incompleto, na medida em que não chego à parte da teoria da representação. A teoria da representação é crucial para a segunda metade do plano (e é por isso que estou trabalhando na extensão desse capítulo para incluí-lo).

Se você realmente deseja entrar no GCT, Simetria, Representações e Invariantes de Goodman e Wallach e Ações e Invariantes de Grupos Algébricos de W. Ferrers Santos são relativamente independentes e têm muitas informações boas que são pertinentes ao GCT. Não tenho certeza se são as melhores fontes para aprender, pois só aprendi sobre elas depois de aprender muito desse material, mas elas são boas em termos da proporção entre o que cobrem e o que é relevante para o GCT. Fulton e Harris são ótimos para a teoria da representação e muitos exemplos / exercícios do livro são relevantes para o GCT.

A resposta mais longa : realmente depende do que / quanto você deseja aprender sobre o GCT, como apontou Vijay. Os tópicos abaixo são exatamente o que eu acho que é o pano de fundo necessário, já que essa era a questão. Não tenho certeza se esta é uma lista completa - eu recomendaria tentar ler alguns dos artigos sobre GCT e, quando você se perder, procure material de apoio. Enquanto você aprende o material de apoio, de vez em quando volta aos documentos do GCT e vê se pode seguir adiante.

(Dependendo do que você quer aprender, eu realmente discordo de Zeyu de que você deveria tentar primeiro álgebra comutativa de pós-graduação, embora em algum momento de aprender o GCT isso seja necessário.)

Se você deseja entender, por exemplo, o recente artigo do FOCS de Mulmuley , você deve entender:

Se você quiser entender o esboço geral da abordagem GCT, mas com alguns detalhes matemáticos , sugiro:

  • O problema permanente versus determinante. # P-completude de permanente e GapL-completude de determinante. Agrawal tem uma boa pesquisa (apenas um pouco desatualizada) sobre isso, e as provas de completude podem ser encontradas no livro de Burgisser, Completeness and Reductions in Algebraic Complexity Theory .

  • Grupos e ações de grupo (grupos algébricos e ações de grupos algébricos são úteis, mas não são necessários neste nível). Você deve entender o teorema do estabilizador de órbita.

  • Afine a geometria algébrica através da Nullstellensatz de Hilbert. Basicamente, você só precisa entender a correspondência entre variedades algébricas afins e seus anéis de coordenadas.

  • GeunGeun

Se você quiser entender profundamente o que está acontecendo (e ainda não tenho certeza de que posso estar lá, mas acho que sei o que preciso saber para chegar lá), provavelmente também deve entender:

  • A estrutura de grupos algébricos redutivos e fechamento de órbitas em suas representações. Gosto do livro de W. Ferrers Santos para isso, mas também de Grupos Algébricos Lineares de Borel , Os Grupos Clássicos de Weyl e outros clássicos.

  • O maquinário Luna-Vust (Teorema da fatia de Luna, complexidade Luna-Vust)

  • Dualidade Tannakiana (veja o artigo de Deligne - Milne ; será uma leitura difícil, sem algum conhecimento em teoria de categorias e grupos algébricos afins). Isso diz essencialmente que "grupos algébricos (pró) afins são determinados por suas representações". Eu não acho que você precise de todo o artigo, mas de como recuperar um grupo de sua categoria de representações (Cor. 3.4).

  • Mais teoria da representação , especialmente aplicada aos anéis de coordenadas de grupos algébricos e seus fechamentos de órbita. Eu realmente gosto do livro de Goodman e Wallach para isso, principalmente porque é basicamente independente e tem muito exatamente o que você precisa para entender o GCT. (Além disso, muitas das seções expositivas / laterais e exercícios de Fulton e Harris estão certos na GCT, especialmente aqueles sobre os coeficientes de Littlewood-Richardson e Kronecker.)

Se você realmente deseja trabalhar na teoria das representações , provavelmente quer entender mais a teoria combinatória algébrica / representação combinatória. Eu realmente não sei todas as referências corretas para isso, mas certamente entender a regra de Littlewood-Richardson é uma obrigação, e o livro de Fulton, Young Tableaux, é bom para isso.

Os artigos mais recentes deste lado das coisas que eu conheço são Blasiak , Kumar e Bowman, De Visscher e Orellana .

Dependendo da direção em que você deseja seguir, você também pode procurar grupos quânticos, embora isso não seja necessariamente necessário (nota: esse não é um caso especial de grupo, mas uma generalização em uma determinada direção).

No lado mais geométrico das coisas , convém examinar coisas como geometria diferencial para espaços tangentes e osculantes, curvatura, variedades duplas e similares, que estão subjacentes ao limite inferior mais conhecido em perm vs. det devido a Mignon --Ressayre e seguido por Landsberg - Manivel - Ressayre . ( Mignon - Ressayre pode ser entendido sem nenhuma dessas coisas, mas você pode ver o papel deles livremente estudando a curvatura de certas variedades; para uma visão menos flexível, veja o uso de variedades duplas em Landsberg - Manivel - Ressayre . ) (Veja também Cai, Chen e Li , que estendem Mignon - Ressayre a todas as características ímpares.) Veja também Landsberg e Kadish .

Se você está interessado na abordagem GCT para multiplicação de matrizes , trata-se de classificação de tensores, classificação de fronteiras e variedades secantes. Sugiro que olhe os artigos de Burgisser - Ikenmeyer , Landsberg e Ottaviani , Landsberg , pesquisa e livro de Landsberg . Obviamente, também seria bom conhecer o material clássico sobre multiplicação de matrizes (limites superior e inferior), mas essa é uma lata de vermes totalmente separada.

Joshua Grochow
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+1 ps: seria ótimo se você também pudesse adicionar links para documentos e livros em sua resposta.
Kaveh
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A teoria geral da topologia é necessária?
syucha
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Sinto que toda a história foi unanimemente adiada por você neste caso. Ótima resposta. Se você marcou as partes "Se você quiser" com mais destaque, a estrutura da sua resposta seria mais visualmente evidente.
Vijay D
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Josh é o nosso especialista local :)
Suresh Venkat
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@ syycha: Dependendo do que você quer dizer com "teoria geral da topologia", diga como normalmente ensinado em um curso de topologia de graduação, NÃO. Você não precisa conhecer a maioria da topologia de conjunto de pontos. Dito isto, entender o básico da topologia é útil (e necessário) para entender a geometria algébrica (cf. topologia de Zariski) e geometria diferencial (para a qual você realmente precisa apenas da topologia de variedades, não da topologia geral de conjunto de pontos). Coisas mais profundas da topologia, como roldanas e pacotes de vetores, são úteis para algumas das coisas mais profundas do GCT.
Joshua Grochow