O zoológico de complexidade indica na entrada em EXP que, se L = P , PSPACE = EXP. Como NPSPACE = PSPACE da Savitch, até onde eu sei, o argumento de preenchimento subjacente se estende para mostrar que Também sabemos que L NL NC P via hierarquia alternada limitada por recursos de Ruzzo.
Se NC = P, segue-se PSPACE = EXP?
Uma interpretação diferente da questão, no espírito de Richard Lipton: é mais provável que alguns problemas em P não possam ser paralelizados, do que nenhum procedimento de tempo exponencial requer mais que o espaço polinomial?
Eu também estaria interessado em outras consequências "surpreendentes" de NC = P (quanto mais improvável, melhor).
Edit: A resposta de Ryan leva a uma pergunta adicional: qual é a hipótese mais fraca que se sabe garantir PSPACE = EXP?
- W. Savitch. Relações entre complexidades de fita não-determinísticas e determinísticas, Journal of Computer and System Sciences 4 (2): 177-192, 1970.
- WL Ruzzo. Sobre a complexidade do circuito uniforme, Journal of Computer and System Sciences 22 (3): 365-383, 1971.
Editar (2014): link antigo atualizado do Zoo e links adicionados para todas as outras classes.
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Respostas:
Sim. pode ser visto como a classe de idiomas reconhecida por máquinas de Turing alternadas que usam espaço O ( log n ) e ( log n ) tempo O ( 1 ) . (Isso foi comprovado pela primeira vez por Ruzzo.) P é a classe em que as máquinas de Turing alternadas usam espaço O ( log n ) , mas podem levar até n O ( 1 ) tempo. Por uma questão de brevidade, vamos chamar essas classes A T I S P [ ( log nNC O(logn) (logn)O(1) P O(logn) nO(1) e A S P A C E [ O ( log n ) ] = P .A TEuSP[ ( logn )O ( 1 ), logn ] = NC A SPA CE[ O ( logn ) ] = P
Suponha que as duas classes sejam iguais. Substituindo por 2 n acima (isto é, aplicando lemas de tradução padrão), obtém-sen 2n
.TIME[2O(n)]=ASPACE[O(n)]=ATISP[nO(1),n]⊆ATIME[nO(1)]=PSPACE
Se então E X P = P S P A C E também, uma vez que existem idiomas completos E X P em T I M E [ 2 O ( n ) ] .TIME[2O(n)]⊆PSPACE EXP=PSPUMACE EXP TEuME[ 2O ( n )]
Edit: Embora a resposta acima seja talvez mais educativa, aqui está um argumento mais simples: já segue de " P está contido no espaço polylog" e tradução padrão.EXP= PSPA CE P Nota " está contido no espaço polylog" é uma hipótese muito mais fraco do que o N C = P .P NC= P
Mais detalhes: Como as famílias de circuitos têm profundidade ( log n ) c para alguma constante, cada família de circuitos pode ser avaliada no espaço O ( ( log n ) c ) . Daí N C ⊆ ⋃ c > 0 S P A C E [ ( log n ) C ] . Então P = N C implica P ⊆ ⋃ c > 0 SNC ( logn )c O ( ( logn )c) NC⊆ ⋃c > 0SPA CE[ ( logn )c] P= NC . Aplicando tradução (substituindo n com 2 N ) implica T I H E [ 2 S ( n ) ] ⊆ P S P A C E . A existência de um E X P língua -completo em T I H E [ 2 S ( n ) ] termina o argumento.P⊆ ⋃c > 0SPA CE[ ( logn )c] n 2n TIME[2O(n)]⊆PSPACE EXP TIME[2O(n)]
Atualização: Respondendo à pergunta adicional de Andreas, acredito que deve ser possível provar algo como: se, para todos os c , toda linguagem polinomialmente esparsa em n O ( log c n ) o tempo é solucionável em espaço polylog. (Sendo meios polinomialmente esparsos que há, no máximo, p o l y ( n ) cadeias de comprimento N da língua, para todos os nEXP=PSPACE c nO(logcn) poly(n) n n .) Se for verdade, a prova seria provavelmente ir ao longo das linhas de Hartmanis, Immerman, e comprovante de Sewelson que sse todas as línguas polinomialmente escassa em N P está contido em P . (Observe que o tempo n O ( log c n ) no espaço polylog ainda é suficiente para implicar P S P A C E = E X P. )NE=E NP P nO(logcn) PSPACE=EXP
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(Vi a resposta de Ryan, mas só queria fornecer outra perspectiva, que era longa demais para caber em um comentário.)
Na prova , tudo o que você precisa saber sobre L, informalmente, é que, quando explodido por um exponencial, L se torna PSPACE. A mesma prova é válida para NL, porque NL explodido por um exponencial também se torna PSPACE.L=P⇒PSPACE=EXP
Da mesma forma, quando NC é explodido por um exponencial, você obtém o PSPACE. Eu gosto de ver isso em termos de circuitos: NC é a classe de circuitos polinomiais de tamanho com profundidade de polilog. Quando explodido, isso se transforma em circuitos de tamanho exponencial com profundidade polinomial. Pode-se mostrar que esse é exatamente o PSPACE, uma vez que as condições de uniformidade apropriadas sejam adicionadas. Acho que se NC for definido com uniformidade L, isso obterá uniformidade PSPACE.
A prova deve ser fácil. Em uma direção, pegue um problema completo do PSPACE como o TQBF e expresse os quantificadores usando portas AND e OR de tamanho exponencial. Na outra direção, tente atravessar o circuito de profundidade polinomial recursivamente. O tamanho da pilha será polinomial, portanto, isso pode ser feito no PSPACE.
Finalmente, cheguei a esse argumento quando vi a pergunta (e antes de ler a resposta de Ryan), para que houvesse erros. Por favor, aponte-os.
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Aqui está um pouco mais detalhadamente da perspectiva da simulação da máquina de Turing Alternada no espaço-tempo.
Suponha-se que .P=NC
Como , obtemos P = A T I S P ( ( log ( n ) ) O ( 1 ) , O ( log ( n ) ) ) .NC=ATISP((log(n))O(1),O(log(n)))
Agora, considere o tempo linear problema de simulação universal , onde nos é dada uma codificação em uma máquina de Turing M e um string de entrada x de comprimento n e queremos saber se M aceita x em no máximo n passos.LinU M x n M x n
Sabemos que . Portanto, existe uma constante c (suficientemente grande) tal que ( ∗ )LinU∈P c
Como resultado de um argumento de preenchimento (um pouco complicado ver comentários), temos
Estendendo o argumento de preenchimento, obtemos ( 3 )
Therefore, we (essentially) have the following for all natural numbersk :
From(3∗) , we would get that EXP=PSPACE .
====================After Thought===================
It is important to notice thatP=NC implies
Any comments or corrections are welcomed. :)
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