divisão de divisão e polaridade dos tipos Pi

Em um tópico recente na lista de discussão da Agda, surgiu a questão das leis $\eta$ , na qual Peter Hancock fez comentários instigantes .

Meu entendimento é que leis vêm com tipos negativos, ie. conectivos cujas regras de introdução são invertíveis. Para desabilitar para funções, Hank sugere o uso de um eliminador personalizado, com divisão de diversão , em vez da regra usual do aplicativo. Eu gostaria de entender a observação de Hank em termos de polaridades.$\eta$$\eta$

Por exemplo, há duas apresentações -types. Existe o eliminador de divisão tradicional Martin-Löf , em um estilo positivo:$\Sigma$

$$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to C (a , b) \\ \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \mathrm{split}\: f\: p : C\: p \end{array}$$

E há a versão negativa:

$$\begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_0\: p : A \end{array} \qquad \begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_1\: p : B[\pi_0\: p / a] \end{array}$$

Esta última apresentação facilita a obtenção de para pares, ie. para qualquer par (onde == representa a igualdade de definição). Em termos de provabilidade, essa diferença não importa: intuicionisticamente, você pode implementar projeções com divisão ou o contrário.( π 0 p , π 1 p ) = = p $\eta$$(\pi_0 p , \pi_1 p) == p$$p$

Agora, os tipos são geralmente (e sem controvérsia, acredito) tomados negativamente:$\Pi$

$$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : \Pi a : A. B \\ \Gamma \vdash s : A \\ \hline \\ \Gamma \vdash f s : B[s / a] \end{array}$$

O que nos fornece para funções: .λ x . f x = = $\eta$$\lambda x. f x == f$

No entanto, nesse e-mail, Hank lembra do eliminador de divisões simples (Programação na teoria do tipo ML, [http://www.cse.chalmers.se/research/group/logic/book/], p.56). É descrito na estrutura lógica por:

$$\begin{array}{l} f \in \Pi(A, B) \\ C(v)\: Set [v \in \Pi(A, B)] \\ d(y) \in C(\lambda(y)) [y(x) \in B(x) [x \in A]] \\ \hline \\ \mathrm{funsplit}(f, d) \in C(f) \end{array}$$

Curiosamente, Nordstrom et al. motive esta definição dizendo que "[esta] forma não canônica alternativa se baseia no princípio da indução estrutural". Há um forte cheiro de positividade nessa declaração: as funções seriam 'definidas' pelo construtor .$\lambda$

No entanto, não consigo definir uma apresentação satisfatória dessa regra na dedução natural (ou, melhor ainda, no cálculo sequencial). O (ab) uso da estrutura lógica para introduzir parece crucial aqui.$y$

Então, é divertida uma apresentação positiva do tipo ? Também temos algo semelhante no cálculo sequencial (não dependente)? Como seria?$\Pi$

Quão comum / curioso é isso para os teóricos da prova em campo?

A apresentação da eliminação funcional usando definitivamente não é uma ocorrência comum na maioria dos tratamentos da teoria dos tipos. No entanto, acredito que esta forma é realmente a apresentação "positiva" da eliminação de tipos funcionais. A questão aqui é que você precisa de uma forma de correspondência de padrões de ordem superior, veja, por exemplo, Dale Miller .$\mathrm{funsplit}$

Permita-me reformular sua regra de uma maneira mais clara para mim:

$$\begin{array}{l} \Gamma\vdash f : \Pi x:A. B \\ \Gamma, z:\Pi x:A. B\vdash C : Set\\ \Gamma, [x:A]F(x):B\vdash e : C\{\lambda x:A.F(x)/z\}\\ \hline \\ \mathrm{match}\ f\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e : C\{f/z\} \end{array}$$

Onde é um meta-variável do tipo no contexto .B x : $F$$B$$x:A$

A regra de reescrita se torna:

$$\mathrm{match}\ \lambda x:A.t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e\quad \rightarrow\quad e\{t\{u/x\}/F(u)\}$$

Isso permite que você defina o aplicativo como:

$$\mathrm{app}(t,u)=\mathrm{match}\ t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow F(u)$$

Além do fato de que isso exige que um sistema de tipos "estilo lógico de estrutura" seja válido, o aborrecimento (e a necessidade limitada) da unificação de ordem superior torna essa formulação impopular.

No entanto, existe um local em que a distinção positiva / negativa está presente na literatura: a formulação de predicados de relações lógicas . As duas definições possíveis (no caso unário) são

$$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid \forall u\in [\![ A]\!], tu \in[\![B]\!]_{x\mapsto u} \}$$

e

$$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid t\rightarrow^* \lambda x.t', \forall u\in[\![A]\!], t'\{u/x\}\in[\![B]\!]_{x\mapsto u}\}$$

A segunda versão é menos comum, mas pode ser encontrada, por exemplo, em Dowek e Werner .

Aqui está uma perspectiva um pouco diferente da resposta de Fredrik. Geralmente, as codificações impredicativas dos tipos da Igreja satisfarão as leis relevantes , mas não as leis .$\beta$$\eta$

Portanto, isso significa que podemos definir um par dependente da seguinte maneira:

$$\exists x:X.\;Y[x] \triangleq \forall \alpha:\ast.\; (\Pi x:X.\;Y[x] \to \alpha) \to \alpha$$ Agora, observe que é facilmente definível: No entanto, você não pode definir a segunda projeção - experimente! Você só pode definir um eliminador fraco para isso, e é por isso que escrevi com um existencial.π 1 : ∃ x : X $\pi_1$pi 2 : Π p : ( ∃ x : X $$\pi_1 : \exists x:X.\;Y[x] \to X \triangleq \lambda p:(\exists x:X.\;Y[x]).\;p\;X\;(\lambda x\;y.x)$$ $\pi_2 : \Pi p:(\exists x:X.\;Y[x]).\; Y[\pi_1\;p]$

No entanto, a segunda projeção é realizável e, em um modelo paramétrico, você pode mostrar que também possui o comportamento correto. (Veja meu rascunho recente com Derek Dreyer sobre parametridade no Cálculo de construções para mais informações.) Então, acho que a projeção exige fundamentalmente algumas propriedades de extensionalidade fortes para que faça sentido.$\pi_2$

Em termos de cálculo sequencial, o eliminador fraco possui uma regra que se parece um pouco com:

$$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; \Gamma' \vdash e' : C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$$ Aqui, as condições implícitas de boa formação implicam que não pode ocorrer gratuitamente emΓ $p$$\Gamma'$ ou . Se relaxarmos essa condição, obteremos a regra de divisão, que tem uma regra à esquerda que se parece com Essa substituição me lembra muito a regra de eliminação de Girard / Schroeder-Heister quanto à igualdade. Eu fiz uma pergunta$C$ $$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; [(x,y)/p]\Gamma' \vdash e' : [(x,y)/p]C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$$ sobre essa regra há um tempo, e David Baelde e Gopalan Nadathur apresentam a versão mais avançada em seu artigo sobre o LICS 2012, Combinando módulo de dedução e lógica de definições de ponto fixo . Acho que Conor McBride passou algum tempo pensando sobre a relação entre o tipo de identidade e a igualdade Schroeder-Heister, então você pode querer ver o que ele pensa.

Richard Garner escreveu um bom artigo sobre application vs funsplit, Sobre a força dos produtos dependentes na teoria dos tipos de Martin-Löf (APAL 160 (2009)), que também discute a natureza de ordem superior da regra do funsplit (com uma referência a Uma extensão natural da dedução natural de Peter Schroeder-Heister (JSL 49 (1984))).

Richard mostra que, na presença de tipos de identidade (e regras de formação e introdução para os tipos ), o funsplit é interderível com a regra de aplicação acima + eta proposicional, ou seja, as duas regras a seguir: $\Pi$

$$\frac{m : \Pi(A,B)}{\eta(m) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(m, \lambda x . m\cdot x)} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$)}$$ $$\frac{x : A \vdash f(x) : B(x)}{\eta(\lambda(f)) = \mathsf{refl}(\lambda(f)) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(\lambda(f), \lambda (f))} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp)}$$

Ou seja, se você tiver uma divisão simples, poderá definir application e como acima, para que válido. Mais interessante, se você tiver aplicação e as regras eta proposicionais, poderá definir divisão simples.$\eta$$(\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp})$

Além disso, o funsplit é estritamente mais forte que a aplicação: as regras eta proposicionais não são definíveis em uma teoria com apenas aplicação - portanto, o funsplit não é definível, pois as regras eta proposicionais também seriam. Intuitivamente, isso ocorre porque as regras do aplicativo oferecem um pouco mais de folga: diferentemente do funsplit (e eta), eles não informam o que são funções, apenas que podem ser aplicadas aos argumentos. Acredito que o argumento de Richard também possa ser repetido para os tipos , para mostrar o mesmo resultado para$\Sigma$$\mathsf{split}$ projeções vs.

Observe que se você tivesse regras eta definicionais, certamente as teria proposicionalmente também (com ). Portanto, acho que suas afirmações "[...] que nos dão para funções" e "[...] esta última apresentação facilitam a obtenção de para pares" estão erradas. A Agda, no entanto, implementa para funções e pares (se for definido como um registro), mas isso não ocorre apenas no aplicativo.$\eta(m) := \mathsf{refl}(m)$$\eta$$\eta$$\eta$$\Sigma$