O colapso é

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Contidas entre cada nível da hierarquia polinomial existem várias classes de complexidade, incluindo ΔiP , DP , BHk e ΣiPΠiP . Por falta de melhor terminologia, que irá referir-se a estas e quaisquer outros como as classes intermédios entre os níveis i e i+1 na hierarquia polinomial. Para os efeitos da presente questão, assumir que eles são as classes contidas em Σi+1PΠi+1Pmas contêm e / ou Π P i . Queremos evitar incluindo Σ P i + 1¸ P i + 1 , se possível, como é trivialmente equivalente a PH se colapsa para a i + 1 T h nível.ΣiPΠiPΣi+1PΠi+1PPHi+1th

Além disso, definir o seguinte:
DPi={LL:LΣiP and LΠiP}

A descrição acima é uma generalização da classe (também escrita D P ). Nesta definição, DP é equivalente a DP 1 . É considerado em outra questão cstheory.se . É fácil de ver que a DP iô P i + 1 e contém tanto Σ P i e Π P i .DPDPDPDP1DPiΔi+1PΣiPΠiP

Diagrama de referência:

Diagrama de PH

Pergunta:
Suponha que a hierarquia polinomial cai no nível, mas não não entrar em colapso ao i t h nível. Isto é, Σ P i + 1 = Π P i + 1 e Σ P iΠ P i .i+1thithΣi+1P=Πi+1PΣiPΠiP

Podemos dizer algo mais sobre as relações entre essas próprias classes intermediárias e outras em qualquer nível abaixo de ? Existe um esquema para uma coleção de classes de complexidade em que, para cada coleção, as classes são equivalentes se e somente se o PH entrar em colapso exatamente para um nível escolhido arbitrariamente?i+1PH

Apenas como acompanhamento, suponha que a hierarquia colapsou com qualquer uma dessas classes intermediárias em particular (como ). Dependendo da classe selecionada, sabemos se este colapso deve continuar a se estendem para baixo, talvez até ao i t h nível?Δi+1Pith

A questão acima foi parcialmente explorada e respondida em um artigo de Hemaspaandra et. al:
Um colapso descendente na hierarquia polinomial
Alguém conhece exemplos adicionais não mencionados neste documento ou tem mais intuição sobre o que precisa acontecer para que uma classe faça isso?

mdxn
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Respostas:

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Não tenho uma boa resposta, mas, no espírito da complexidade, tenho algumas respostas que sugerem que pode ser difícil encontrar uma boa resposta :).

  1. ΣiPi+1iΣiPΣi+1PΠi+1P=Σi+1P

  2. PHPHΣkPΠkPΔk+1P=Σk+1PΠk+1Pk

  3. Ker-I Ko fornece oráculos nos quais ele separa os níveis de daqueles de . Como essas duas hierarquias se entrelaçam, isso fornece pelo menos algumas informações sobre colapsos relativáveis ​​de problemas entre os níveis de .BPHPHPH

  4. A próxima referência é a direção errada, mas você também pode estar interessado no resultado e em suas técnicas. Chang e Kadin mostraram que, se a hierarquia booleana (que vive inteiramente abaixo do segundo nível de , mas estende a toda uma hierarquia) entra em colapso ao seu ésimo nível, então colapso até o ésimo nível da hierarquia booleana sobre .PHDPkPHkΣ2P

Joshua Grochow
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Deve be
ΣkPΠkPΔkP=Σk+1PΠk+1P
ΔkP=ΣkPΠkPΔk+1P=Σk+1PΠk+1P?
T ....
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desculpe, mas eu pensei correto? Por exemplo:Σk1PΠk1PΔkPΣkpΠkPΣkPΠkP
P=Σ0PΠ0P=PPΔ1P=PΣ1pΠ1P=NPcoNPΣ1PΠ1P=NPcoNPΔ2P=PNPΣ2PΠ2PΣ2PΠ2P
T ....