O colapso é

Contidas entre cada nível da hierarquia polinomial existem várias classes de complexidade, incluindo $\Delta_i^{\text{P}}$ , $\text{DP}$ , $\text{BH}_k$ e $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ . Por falta de melhor terminologia, que irá referir-se a estas e quaisquer outros como as classes intermédios entre os níveis $i$ e $i+1$ na hierarquia polinomial. Para os efeitos da presente questão, assumir que eles são as classes contidas em $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$mas contêm e / ou Π P i . Queremos evitar incluindo Σ P i + 1 ∩ ¸ P i + 1 , se possível, como é trivialmente equivalente a PH se colapsa para a i + 1 T h nível.$\Sigma_i^\text{P}$$\Pi_i^\text{P}$$\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$$\text{PH}$${i+1}^{th}$

Além disso, definir o seguinte:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

A descrição acima é uma generalização da classe (também escrita D P ). Nesta definição, DP é equivalente a DP 1 . É considerado em outra questão cstheory.se . É fácil de ver que a DP i ⊆ ô P i + 1 e contém tanto Σ P i e Π P i .$\text{DP}$$\text{D}^\text{P}$$\text{DP}$$\text{DP}_1$$\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$$\Sigma_i^\text{P}$$\Pi_i^\text{P}$

Diagrama de referência:

Pergunta:
Suponha que a hierarquia polinomial cai no nível, mas não não entrar em colapso ao i t h nível. Isto é, Σ P i + 1 = Π P i + 1 e Σ P i ≠ Π P i .${i+1}^{th}$$i^{th}$$\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$$\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

Podemos dizer algo mais sobre as relações entre essas próprias classes intermediárias e outras em qualquer nível abaixo de ? Existe um esquema para uma coleção de classes de complexidade em que, para cada coleção, as classes são equivalentes se e somente se o PH entrar em colapso exatamente para um nível escolhido arbitrariamente?$i+1$$\text{PH}$

Apenas como acompanhamento, suponha que a hierarquia colapsou com qualquer uma dessas classes intermediárias em particular (como ). Dependendo da classe selecionada, sabemos se este colapso deve continuar a se estendem para baixo, talvez até ao i t h nível?$\Delta_{i+1}^{\text{P}}$$i^{th}$

A questão acima foi parcialmente explorada e respondida em um artigo de Hemaspaandra et. al:
Um colapso descendente na hierarquia polinomial
Alguém conhece exemplos adicionais não mencionados neste documento ou tem mais intuição sobre o que precisa acontecer para que uma classe faça isso?

Não tenho uma boa resposta, mas, no espírito da complexidade, tenho algumas respostas que sugerem que pode ser difícil encontrar uma boa resposta :).

1. $\mathsf{\Sigma_i P}$$i+1$$i$$\mathsf{\Sigma_i P}$$\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$

2. $\mathsf{PH}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$$k$

3. Ker-I Ko fornece oráculos nos quais ele separa os níveis de daqueles de . Como essas duas hierarquias se entrelaçam, isso fornece pelo menos algumas informações sobre colapsos relativáveis ​​de problemas entre os níveis de .$\mathsf{BPH}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{PH}$

4. A próxima referência é a direção errada, mas você também pode estar interessado no resultado e em suas técnicas. Chang e Kadin mostraram que, se a hierarquia booleana (que vive inteiramente abaixo do segundo nível de , mas estende a toda uma hierarquia) entra em colapso ao seu ésimo nível, então colapso até o ésimo nível da hierarquia booleana sobre .$\mathsf{PH}$$\mathsf{DP}$$k$$\mathsf{PH}$$k$$\mathsf{\Sigma_2 P}$