O que há de errado com esse argumento

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Não se acredita que seja o seguinte:

LLuniform NC1

Você pode me ajudar a ver onde o argumento termina?

O problema de acessibilidade direcionada está completo para . Argumento que está em -uniforme .L N C 1LLNC1


O problema de alcançabilidade direcionada sobre os gráficos de configuração da máquina de Turing determinística no espaço de log está completo para .L

O problema de acessibilidade direcionada está em MSO2 :

dados s e t , deixe P representar a variável MSO para as arestas no caminho. Temos de verificar que P contém um caminho dirigido de s a t o que pode ser feito através da verificação de que o em graus e para fora graus (em P ) de cada incidente vértice sobre um bordo em P é 1 , excepto para s e t que ter em grau, grau = 0,1 e 1,0 respectivamente.

Toda floresta é um gráfico da largura da árvore 1 . Em particular, o gráfico de configuração de uma Máquina de Turing determinística no espaço de log é uma estrutura delimitada na largura da árvore.

Nas versões de Elberfeld, Jakoby e Tantau do Logspace dos teoremas de Bodlaender e Courcelle :

MSO fórmula \ mathsf {MSO} sobre estruturas limitadas da largura da árvore pode ser avaliada no espaço de log.

A prova é mais ou menos assim: para um determinado tamanho de estrutura , um limite na largura da árvore das estruturas e uma fórmula com vocabulário , construa (em ) construir um circuito .w M S O φ τ L # N C 1 CnwMSOφτL#NC1C

O circuito dada uma estrutura de tamanho e árvore de largura, no máximo, , conta o número de "satisfazem" atribuições de em .M n w φ MCMnwφM

(O histograma que tabula o número de atribuições para as variáveis ​​livres de segunda ordem em parametrizou nos tamanhos dos conjuntos de valores obtidos pelas variáveis).φ

Eu acho que o circuito depende apenas do vocabulário , do limite da largura da árvore de e do tamanho da estrutura .τ d nCτdn

A prova prossegue avaliando o circuito em mas não precisamos dessa parte.#NC1eu

Para nós, basta observar que, em Computação não determinísticaNC1 de Caussinus-Mackenzie-Therien-Vollmer:

todo circuito pode ser interpretado como contando o número de árvores de prova de um .N C 1#NC1NC1

Portanto, o circuito correspondente gera se a estrutura de entrada fórmula .M S O1MSO

Pelo exposto acima, parece que o espaço de log é pelo menos em espaço de log uniformeNC1

SamiD
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Seu argumento de acessibilidade do MSO não está certo: ele funcionará apenas se o subgráfico induzido pelos vértices for um caminho direcionado, o que não é o caso em geral (um contra-exemplo trivial é um par simétrico de arestas direcionadas). A maneira correta de alcançar a acessibilidade no MSO é afirmar que todo conjunto de vértices que contém s e é fechado na relação de aresta também inclui t . Pst
David Richerby
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@SamiD Dei o menor contra-exemplo, que passa a ser um gráfico simétrico. Mas o gráfico de 3 vértices com arestas direcionadas , b c , c a funciona da mesma maneira: o caminho direcionado exclusivo de a a c é a b c mas o conjunto { a , b , c } não satisfaz sua fórmula porque, no subgráfico induzido por { a , b , c } (que é o gráfico inteiro), umabbccaacabc{a,b,c}{a,b,c}anão possui zero grau e não possui zero grau. c
David Richerby
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@ David Point bem-feito - minha formulação original era de buggy - espero que esteja tudo bem: considero um conjunto de arestas em vez de vértices e observo o grau de vértices em relação a essas arestas - elas devem ser as mesmas de antes. Obrigado pelo exemplo.
SamiD 28/10
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@ Kaveh Obrigado pelas alterações - elas tornam a pergunta mais legível. Esclarei a questão que você levantou - no meu entender, a EJT cria um circuito aritmético com profundidade de log em L e, em seguida, o problema cai em L por causa da contenção CMTV # NC1 \ subseteq L. Mas paramos no momento em que o circuito é criado e sintaticamente converta-o em um circuito NC ^ 1. A conversão etc pode ser feita facilmente. Eu converti NC ^ 1 / poly em L-uniforme NC ^ 1 também porque é mais preciso.
samid
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@Kaveh: 1. Alterar todos os de # N C 1 -circuito C para e para criará um circuito N C 1 C tal que C conte o número de árvores de prova de C . +#NC1CNC1CCC
SamiD 29/10

Respostas:

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De fato, o circuito depende da estrutura de entrada, não apenas do tamanho da estrutura de entrada. Tomamos uma decomposição em árvore do gráfico com cores adicionais e a transformamos em uma árvore de convolução. A avaliação da fórmula nesta árvore é reduzida para calcular o valor da árvore de convolução. Para calcular o valor da árvore, ela é transformada em um circuito aritmético. Portanto, não temos um circuito para cada tamanho de entrada, conforme necessário para , mas um circuito para cada entrada única.NC1

Sebastian Siebertz
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