Intuição: Ciclo ímpar transversal em gráficos sem triângulo

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Conjeturo que, se é um gráfico livre de triângulo simples, em seguida, existe um conjunto de, no máximo, n 2 / 25 bordas cuja eliminação destrói cada ciclo estranho.Gn2/25

Para obter mais informações, consulte o artigo de Erdös et al., 1988, Como fazer um gráfico bipartido .

Pergunta 1: Essa conjectura é verdadeira por sua intuição?

Pergunta 2: Qual é a complexidade de contar o número de ciclos ímpares em um gráfico? Existe algum algoritmo eficiente para fazer isso?

Rupei Xu
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Minha intuição diz que você precisa de mais do que isso (considere o gráfico de 3 grupos de vértices V 1 , V 2 , V 3 de modo que haja todas as arestas V 1V 2V 3V 1 , não pensei através). Um n 2 / 9 é um tanto mais intuitiva ligado. Mas minha intuição também diz: "Se Erdös disse isso, tem que ser verdade :)". Contar ciclos simples de comprimento exatamente 2 k + 1 é #W [1] -hard (em relação a kn/3V1,V2,V3V1V2V3V1n2/92k+1k), mas pode haver uma maneira mais fácil de encontrar todos os ciclos ímpares.
RB
@RB Isso já deve ser uma resposta.
Yixin Cao
Na verdade, eu ignorei completamente a parte sem triângulo: o. Para tais gráficos, minha intuição diz que é verdade, e apertado (considere para a igualdade de partição V 1 , . . , V 5 .V1V2V3V4V5V1V1,..,V5
RB
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Caro Rupei, existem duas conjecturas conhecidas de erdos, nas quais o gráfico proposto por RB (e talvez você também tenha em mente) deve fornecer o valor extremo. Um é o número máximo de pentágonos em gráficos sem triângulo com 5n vértices e o outro é o mesmo que a sua conjectura no número mínimo de arestas necessárias para transformar um gráfico sem triângulo em bipartido. Lembro-me vagamente de que houve um progresso substancial na primeira conjectura recentemente, mas talvez eu misture as duas.
Gil Kalai
@ GilKalai, muito obrigado por seus comentários, prezado professor Kalai, encontrei o seguinte artigo que mostra os resultados que você quer dizer: Simonovits, Miklós. "A influência de Paul Erdős na teoria dos grafos extremais." A matemática de Paul Erdös II. Springer Berlin Heidelberg, 1997. 148-192.
Rupei Xu

Respostas:

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Minha intuição diz que provavelmente é verdade, e aqui está um limite inferior correspondente (ou seja, um gráfico do qual você deve excluir pelo menos arestas para se tornar bipertita:n225

, | VG=(V1V2V3V4V5,(V1×V2)(V2×V3)(V3×V4)(V4×V5)(V5×V1)).|V1|=|V2|=|V3|=|V4|=|V5|

Este gráfico é certamente livre de triângulo, mas se x<n225C5=v1v2v3v4v5v1v1V1,v2V2,v3V3,v4V4,v5V5

2k+1#W[1]hardkno(k)

O(2O(k))

RB
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O(2O(k))
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O(f(k))O~(f(n))O(f(n)polylog(f(n)))
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n
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O
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Obrigado pela sua referência, é interessante ver uma notação em diferentes significados.
Saeed
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Uma abordagem para provar sua conjectura seria tentar usar o lema de regularidade de Szemerédi , semelhante à maneira como o lema de remoção de triângulo é comprovado (veja, por exemplo, aqui ). Não sei se você obterá as constantes corretas dessa abordagem.

bolinho de massa mobius
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No lema de regularidade do Szemerédi, normalmente ele assume um grande número de partições, o valor exato da partição não é fácil de obter. Gostaria de saber que talvez não funcione aqui.
Rupei Xu 15/05