Does

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Denota por o grau mínimo de saída em G e por δ - ( G ) o mínimo de grau.δ+(G)Gδ(G)

Em uma pergunta relacionada , mencionei a extensão Ghouila-Houri do teorema de Dirac nos ciclos hamiltonianos , o que sugere que se então G é hamiltoniano.δ+(G),δ(G)n2

Em seu comentário, Saeed comentou uma extensão diferente que parece mais forte, exceto que exige que o gráfico esteja fortemente conectado.

A forte conectividade foi comprovadamente redundante para o teorema de Ghouila-Houri cerca de 30 anos após sua primeira publicação, e eu queria saber se o mesmo vale para a extensão apresentada por Saeed.

Então a questão é:

  1. Quem provou (alguém pode encontrar a referência) que implica que G é hamiltoniano, dado que G está fortemente conectado?δ+(G)+δ(G)nGG

  2. A forte conectividade também é redundante aqui, ou seja, implica conectividade forte?δ+(G)+δ(G)n


(Observe que, embora o gráfico obviamente precise estar fortemente conectado para que seja hamiltoniano, estou perguntando se essa condição está implícita nas condições do grau).

RB
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Respostas:

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A variação que sugeri foi na verdade uma variação ligeiramente diferente do teorema de Woodal . Talvez eu tenha visto no livro de Bang-Jensen e Gutin . No momento em que escrevi um comentário, não verifiquei o livro quanto à correção. Portanto, para ter certeza de que escrevi, o gráfico deve estar fortemente conectado. Aliás, essa afirmação vale porque pode ser interpretada como um caso especial do teorema de Woodal. Além disso, não é necessário um forte requisito de conectividade.

Este é o teorema 6.4.6 do livro de Bang-Jensen e Gutin :

Seja um dígrafo de ordem n 2 . Se δ + ( x ) + δ - ( y ) n para todos os pares de vértices x e y de tal forma que não exista arco de x a y , então D é hamiltoniano.Dn2δ+(x)+δ(y)nxyxyD

Isso significa que a resposta para a segunda parte da sua pergunta também é Sim.

nnk<na,b,ce,dk2eddbbeece,ddb24=51=n1n

insira a descrição da imagem aqui

P.S1: Certamente o teorema mencionado acima vale para dígrafos simples. ou seja, dígrafos sem arcos ou arestas paralelas.

P.S2: Eu não tenho uma boa ferramenta Tex no momento. Então, a imagem não é boa.

Saeed
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Quando há apenas dois autores, é melhor consultá-los como "Primeiro e Segundo", em vez de "Primeiro et al.", Para que recebam o crédito que merecem. Et al. ("e outros") só deve ser usado quando a lista completa de autores for longa o suficiente para reproduzi-la.
David Richerby
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A resposta para sua segunda pergunta é afirmativa:

δ+(G)+δ(G)nG

Gδ+(G)+δ(G)<nGSSTTSSδ+(G)δ+(S)|S|1δ(G)|T|1

δ+(G)+δ(G)|S|+|T|2n2 .
bolinho de massa mobius
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n1
@GeoffreyIrving Sim, parece que sim.
mobius dumpling
Isso me faz pensar se n-1 é suficiente para Hamiltonicidade.
RB
@RB, Não, não é suficiente.
Saeed
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δ+δ+=n1
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Esta é uma extensão da resposta do @Mobius para mostrar uma afirmação mais forte:

δ++δn1u,vV,d(u,v)2

Prova:

(u,v)E

A={xV:(u,x)E},B={yV:(y,v)E}

(u,v)EABV{u,v}|AB|n2

n1δ++δ|A|+|B|=|AB|+|AB|n2+|AB|

|AB|1wV:(u,w),(w,v)Ed(u,v)=2

RB
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