Por que os gráficos Ramanujan são nomeados após Ramanujan?

Recentemente, ensinei expansores e introduzi a noção de gráficos Ramanujan. Michael Forbes perguntou por que eles são chamados assim, e eu tive que admitir que não sei. Alguém?

Para adicionar algum conteúdo às respostas aqui, explicarei brevemente qual é a conjectura de Ramanujan.

Antes de tudo, a conjectura de Ramanujan é na verdade um teorema, provado por Eichler e Igusa. Aqui está uma maneira de declarar isso. Seja $r_m(n)$ o número de soluções integrais para a equação quadrática $x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$ . Se $m=1$ , que $r_m(n) > 0$Evidentemente, foi comprovado por Legendre, mas Jacobi deu a contagem exata: $r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$ . Nada semelhante exacta é conhecido para maior $m$ mas Ramanujan conjecturado o ligado: $r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$ para cada $\epsilon > 0$ , em que é uma constante dependente apenas de m . $c_m$$m$

Lubtozky, Phillips e Sarnak construíram seus expansores com base nesse resultado. Não estou familiarizado com os detalhes de suas análises, mas acredito que a idéia básica é construir um gráfico de Cayley de para um número primo q que 1 mod 4 , usando geradores determinados por cada soma decomposição de quatro quadrados de p , onde p é um resíduo quadrático módulo q . Então, eles relacionam os autovalores deste gráfico de Cayley a r 2 q ( p k ) para potências inteiras $PSL(2,Z_q)$$q$$1 \bmod 4$$p$$p$$q$$r_{2q}(p^k)$$k$.

Uma referência, além do próprio artigo de Lubotzky-Phillips-Sarnak, é a breve descrição de Noga Alon em Tools from Higher Algebra .

A Wikipedia fornece essa resposta rapidamente. Citação

Construções de gráficos de Ramanujan são frequentemente algébricas. Lubotzky, Phillips e Sarnak mostram como construir uma família infinita de gráficos Ramanujan regulares , sempre que p = $p+1$ é primo. Sua prova usa aconjectura de Ramanujan, que levou ao nome dos gráficos de Ramanujan.$p = 1 \mod 4$

O artigo referido são os gráficos Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips e P. Sarnak, COMBINATORICA Volume 8, Número 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.