Sabemos que, se você possui uma máquina PSPACE, ela é poderosa o suficiente para fornecer uma prova interativa de qualquer nível da hierarquia polinomial. (E se bem me lembro, tudo o que você precisa é #P.) Mas suponha que você queira fornecer uma prova interativa de associação em um idioma. É suficiente ser capaz de resolver problemas em Σ 2 ? A solução de problemas em Σ 5 é adequada? De modo mais geral, se você pode resolver Σ k ou pi k problemas, pelo que Σ l isto é suficiente para gerar provas interativas de todos os languates em Σ l ?
Essa questão foi inspirada nessa questão de troca de pilha de história .
cc.complexity-theory
interactive-proofs
Peter Shor
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Respostas:
Mesmo para fornecer um IP para o coNP, usando as técnicas atuais, é preciso aritmetizar, ou seja, usar a contagem, o que significa essencialmente toda a potência do #P. Qualquer provador mais fraco, mesmo para o coNP, seria muito interessante, eu acho (em particular, implicaria uma nova técnica não relativística).
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Este é um problema aberto conhecido (maravilhoso) em que trabalhei de tempos em tempos sem sucesso.
Avi Wigderson e eu mencionamos o problema em nosso trabalho de algebrização , onde levantamos a questão de saber se contenções como coNP ⊆ IP NP podem ou não ser provadas por meio de técnicas de algebrização. (Aqui IP NP denota IP com um verificador BPP e um provador BPP NP .) Se (como eu conjecturo) a resposta for não, isso forneceria uma razão formal pela qual qualquer protocolo interativo como o que Peter solicita exigiria não relativizar técnicas que vão "fundamentalmente além" daquelas usadas para IP = PSPACE.
Uma pergunta análoga é se BQP = IP BQP , onde IP BQP significa IP com um verificador BPP e um provador BQP (tempo polinomial quântico). Essa questão também está em aberto - embora um avanço recente de Broadbent, Fitzsimons e Kashefi tenha mostrado que uma afirmação intimamente relacionada é verdadeira.
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Sim, a questão de saber se o coNP tem uma prova interativa em que o provador é mais fraco que o #P (digamos, polytime com acesso ao NP oracle) é uma questão em aberto bem conhecida. O artigo recente de Haitner, Mahmoody e Xiao a seguir discute essa questão e mostra algumas conseqüências da suposição de que isso não pode ser feito.
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Como Suresh sugeriu que eu postasse meu comentário como resposta, eu o farei. No entanto, não considero que isso constitua uma resposta completa, pois não tentei provar isso, e pode ser um beco sem saída.
A prova IP = PSPACE original funciona produzindo uma prova interativa para o QBF . Um caso restrito de QBF, está completo para Σ P k . A mesma estratégia de aritmetização funcionará igualmente bem para o QBF k . A parte computacionalmente difícil da estratégia dos provadores parece estar reduzindo o grau dos polinômios envolvidos e avaliando as fórmulas QBF que surgem. Parece provável que isso possa ser alcançado usando um oráculo para o nível correspondente da hierarquia polinomial ( Σ P k ), refazendo a aritmitização em cada rodada, uma vez que o verificador tenha fornecido suas escolhas aleatórias.QBFk ΣPk QBFk ΣPk
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