Supondo que tenhamos uma função booleana de . É claro que um polinômio multivariado real tal que em pode ser multilinear. Quais são algumas classes interessantes de funções booleanas para as quais o grau mínimo de é conhecido? Temos exemplos concretos?p ( x ) f ( x ) = p ( x ) x ∈ { 0 , 1 } n p ( x )
boolean-functions
T ....
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Respostas:
Qualquer função que tenha correlação diferente de zero com paridade tem o grau . Ou seja, se , a expansão multilinear exclusiva de contém o monômio . De fato, como , a expansão de Fourier de (expressa em termos de produtos de ) conterá o termo , e o monômio correspondente não aparece em nenhum outro termo.n
Nisan e Szegedy provaram que funções de grau dependem de no máximo variáveis. Para , podemos ser mais precisos: a função deve depender de no máximo uma coordenada.d 2 dd d2d d=1
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Classes de funções booleanas com apresentação multilinear exclusiva contêm
Funções pseudo-booleanas sobre reais (teorema 1.34 [1])
Função booleana sobre o cubo unitário[0,1]n
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portanto, toda forma normal disjuntiva (DNF) da forma pode ser escrita como e e definições adicionais na página 18 do livro, como subscritos. Você pode representar todas as funções booleanas em em termos de powerset e soma direta modo que (THM1.33).∨ ( Π x Π ( 1 - X ) ) Σ c Π x F B n P ( N ) ⊕ f ( x 1 , ... , x n ) = ⊕ Um ∈ P ( N ) c ( A ) Π i ∈ Um x i∨(∧x∧x¯) ∨(∏x∏(1−x)) ∑c∏x F Bn P(N) ⊕ f(x1,…,xn)=⊕A∈P(N)c(A)∏i∈Axi
e suas aplicações contêm
(circuitos) Complexidade da função booleana da computação polinomial multi-linear
(análise de Fourier) Limites inferiores para Polinômios que computam as funções booleanas
Referências
[1] Teoria, algoritmos e aplicações de funções booleanas (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)
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