Paridade de computação de uma permutação de uma maneira de fluxo contínuo

Estou procurando um algoritmo de uma passagem que calcule a paridade de uma permutação. Suponho que uma permutação de entrada seja dada pelo fluxo . A saída deve ser a paridade da permutação. A questão que me interessa é quanta memória um algoritmo determinístico deve usar. Existe algum algoritmo aleatório para o problema? $\pi[1], \pi[2], \cdots, \pi[n]$

Eu sei que o número de inversões computadas em uma passagem usa a memória . O limite superior pode ser facilmente obtido com qualquer BST. O limite inferior é apresentado aqui: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/versions?doi=10.1.1.112.5622 $\Theta(n)$

Infelizmente, a prova do limite inferior do artigo não pode ser estendida ao caso de paridade (ou não é tão óbvio para mim).

Também sei que a paridade de computação em um pequeno espaço com acesso aleatório a uma permutação pode ser feita no tempo e na memória pelo algoritmo determinístico ou em tempo e memória por um aleatório. Consulte http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.29.2256 $O(n \log n)$ $O(\log^2 n)$ $O(n \log n)$ $O(\log n)$

A idéia principal é que a paridade de uma permutação possa ser calculada pela fórmula , onde é o número de ciclos e é o tamanho. Os autores fazem a decomposição do ciclo de uma permutação. Assim, pode-se calcular facilmente o número de ciclos. $sgn(\pi) = (-1)^{n - c}$ $c$ $n$

Alguém conhece um algoritmo eficaz ou limite inferior na memória para calcular a paridade no modelo de streaming? Algoritmos aleatórios melhores que moedas aleatórias também são interessantes para mim.

ds.algorithms permutations streaming-algorithms Vsevolod Oparin
fonte

É interessante. Você poderia esboçar uma prova ou nomear um problema, que reduz à paridade?

Vsevolod Oparin

@ András: Um algoritmo de O (n) space não funciona simplesmente mantendo o controle de quais elementos já foram vistos (digamos em um vetor de bits) e, em seguida, para cada novo elemento x adicionando a paridade do # de ainda a ser elementos vistos menores que x?

László Kozma

@laszlo seu limite superior

agora parece mais convincente para mim do que meu argumento para um limite inferior maior.

O (n)

$O(n)$

András Salamon

Um resultado negativo para o limite inferior. Os autores do primeiro papel fornece permutação

com base em dois conjuntos

. Eles o usam para calcular se

cruzam. A paridade computacional da permutação requer apenas 3 bits de comunicação unidirecional. Pode ser facilmente obtido calculando a classificação da matriz correspondente.

π = \bar{A_{0}} B_{1} A_{0} \bar{B_{1}}

$\pi = \bar{A_0}B_1A_0\bar{B_1}$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

Vsevolod Oparin

Relacionados: stackoverflow.com/questions/20702782/...

domotorp

Respostas:

Eu gostaria de pedir a todos que não votassem nisso, pois isso não é uma resposta, mas um comentário extenso, no qual gostaria de argumentar por que essa pergunta não recebeu nenhuma resposta. Meu ponto principal é que um limite inferior da complexidade da comunicação não funcionará. Com isso, quero dizer que não importa como cortamos a entrada em duas partes e a entregamos a dois jogadores, A e B, A pode transferir um único bit para B, a partir do qual ele pode calcular a paridade da permutação. (Isso se segue simplesmente considerando inversões.)

As provas que usam outro limite são difíceis. Veja este comentário aqui de Noam Nisan (para a versão não determinística): Limites no tamanho do menor NFA para L_k-distinct ,

essa pergunta relacionada, respondida por Hermann Gruber, que mostra que o limite inferior da complexidade da comunicação pode estar muito longe da verdade (novamente na versão não determinística) Limite inferior para a NFA que aceita linguagem de três letras .

Também relacionado que, para decidir se a permutação é um único ciclo, parece difícil, veja este artigo da FOCS de Ran Raz e Boris Spieker: http://www.computer.org/csdl/proceedings/focs/1993/4370/00 /0366870-abs.html .

Então, eu também estou muito interessado em aprender a resposta para esta pergunta.

domotorp
fonte

Quando você diz que "não importa como cortamos a entrada em duas partes", seu argumento também exclui reduções quando a permutação é dividida em mais de duas partes? Por exemplo, no artigo vinculado sobre a contagem do número de inversões, há uma redução da disjunção definida, onde Alice e Bob têm entradas

e formam permutações

. O índice 0 ou 1 refere-se às transformações

A, B \subseteq [n]

$A, B \subseteq [n]$

\bar{A_{0}} B_{1} A_{0} \bar{B_{1}}

$\bar{A_0} B_1 A_0 \bar{B_1}$

\bar{A_{1}} B_{0} A_{1} \bar{B_{0}}

$\bar{A_1} B_0 A_1 \bar{B_0}$

2 x

$2x$ e

, e a barra refere-se a complementação. Em outras palavras, e se a comunicação puder ser múltipla?

2 x + 1

$2x+1$

László Kozma

@laszlo: Neste problema, realmente não importa como você corta a entrada, desde que você a entregue apenas a dois jogadores, pois a paridade da permutação é determinada pelo número de seus ciclos (por isso é diferente do número inversões).

Domotorp

É fácil ver como A pode calcular um pouco de sua entrada usando qual B pode calcular a paridade? Vejo como A e B sabem o número de ciclos "dentro de suas partes". Mas como eles encontram a paridade do número de ciclos de "travessia"?

László Kozma

@laszlo: Suponha que a entrada de A seja algo como 1-> 7, 2-> 5, 3-> 8, 4-> 6. Isso tem o mesmo número de inversões que 1-> 5, 2-> 6, 3-> 8, 4-> 7. De maneira mais geral, B sabe em quais números os números de A são mapeados. Usando um número par de inversões, A pode permutar esses números em uma ordem crescente, exceto possivelmente nos dois últimos. A relação desses dois últimos números é a que ela envia.

Domotorp

a_{1}, \dots, a_{n}

$a_1, \dots, a_n$

a_{n + 1}, \dots, a_{2 n}

$a_{n+1}, \dots, a_{2n}$

a_{2 n + 1}, \dots, a_{3 n}

$a_{2n+1}, \dots, a_{3n}$

a

$a$

[3 n]

$[3n]$

o (n)

$o(n)$