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Sobre a conjectura de expansão de conjunto pequeno

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Dado um gráfico e a alguém deseja calcular . ( ) A `` expansão em pequenos conjuntos conjectura "afirma que é NP-Difícil determinar se isso está abaixo de ou acima de paraδ > 0 h ( G , δ ) = m i n | S | δ | V | ϕ ( S ) ϕ ( S ) = E ( S , ˉ S )G=(V,E)δ>0h(G,δ)=min|S|δ|V|ϕ(S) Ε1-εε=1/O(log(1ϕ(S)=E(S,S¯)dmin{|S|,n|S|}ϵ1ϵϵ=1/O(log(1δ))


No contexto, observa-se que é a constante Cheeger que é conhecida por ser NP-difícil de ligar. Mas parece haver valores de (quais?) Para os quais podem ser computados em tempo polinomial?δϕ(G,δ)h(G,δ=12)δϕ(G,δ)


Para entender a conjectura de expansão de pequeno conjunto, parece que se prova essa afirmação,

  • Se é a extensão dos autovetores laplacianos de modo que seus valores próprios sejam menores que alguns e se cada satisfizer então, para todo conjunto tal que , temosG λ [ 0 , 1 ]WGλ[0,1]E i [ w 4 i ] C ( E i [ w 2 i ] ) 2 S | S | δ | V | ϕ ( S ) λ ( 1 - wWEi[wi4]C(Ei[wi2])2S|S|δ|V|ϕ(S)λ(1Cδ)

[Referência, Lema 8 aqui, http://www.boazbarak.org/sos/files/lec2d.pdf ]


Minhas perguntas são,

  • Como o teorema acima ajuda a entender a conjectura declarada no início? Qual é a relação entre os dois?

  • Por que tais vetores existem conforme exigido no teorema? Qual é a intuição por trás de olhar para tal ?www

  • Qual é a intuição por trás da escolha desse valor específico de como na declaração da conjectura?ϵ

user6818
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Respostas:

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Acho que o seguinte deve responder às suas perguntas, mesmo que não esteja exatamente na mesma ordem.

A formulação original da conjectura de expansão de conjunto pequeno afirma que, analogamente à conjectura de jogos exclusivos, para cada existe modo que é NP difícil determinar se em um gráfico é o "SIM" caso em que exista um conjunto de tamanho com expansão menor que ou seja o caso "NÃO" em que todo conjunto de tamanho tenha expansão de pelo menos . O artigo de Raghavendra, Steuerer e Tulsiani https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/ssereductions.pdf mostrou que isso é equivalente ao caso em queϵ>0δ>0Gδϵδ1ϵϵ=O(log(1/δ))e de fato o caso em que no caso NO, para cada , conjuntos de tamanho têm pelo menos a mesma expansão que teriam no " gráfico gaussiano noisy" (veja o artigo para a declaração precisa). A razão para a relação é porque esta é a relação entre esses parâmetros no gráfico de ruído gaussiano. Esse resultado de Raghavendra et al. Pode ser pensado como o analógico de expansão de pequeno conjunto do artigo de Khot, Kindler, Mossell e O'Donnell, que mostrou um resultado semelhante para jogos únicos, fornecendo uma relação muito precisa entre os parâmetros (que na configuração de jogos exclusivos é conhecido como tamanho do alfabeto) eδδδϵϵ=O(log(1/δ))1/δϵ.

O resultado que você mencionou discutido em minhas notas de aula é da Seção 8 em meu artigo com Brandao, Harrow, Kelner, Steurer e Zhou ( https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/hypercontract.pdf ). O que mostramos lá, grosso modo, é que um gráfico é um pequeno expansor de conjunto, se e somente se o intervalo de vetores próprios correspondendo a valores próprios baixos do seu Laplaciano não contiver um vetor "analiticamente esparso".

A intuição é a seguinte: considere os dois extremos a seguir:

1) Um vetor aleatório . Nesse caso, a distribuição das entradas de é aproximadamente a distribuição gaussiana e, portanto, isso satisfaz que .wwEiwi4=O(Eiwi2)2

2) Um vetor que é o vetor característico de um conjunto de medidas (ou seja, possui nas coordenadas pertencentes ao conjunto e nas outras). Nesse caso, .wδ10Eiwi4=δδ2=(Eiwi2)2

Agora, grosso modo, o subespaço correspondente a valores próprios menores que do Laplaciano corresponde a um conjunto que possui expansão no máximo no gráfico. Portanto, se existe um conjunto de tamanho com essa expansão, haveria um vetor (ou seja, a projeção do vetor característico deste conjunto para ) com . A outra direção (que é mais difícil de provar, mas acaba sendo verdadeira) é que, se houver um vetor com essa propriedade, também podemos encontrar um conjunto com medida com expansão não muito boa.£ £ ô W W E i w 4 i » ( E i w 2 i ) 2 w O ( 1 )WϵϵδwWEiwi4(Eiwi2)2wo(1)

Boaz Barak
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@Boasz Barak Obrigado pela sua resposta perspicaz! Então, a sua seção 8 está de alguma forma subsumindo o resultado de Steurer-Prasad-Tulsiani a que você se referiu inicialmente? Ou ainda são idéias independentes? Você pode dizer algo sobre como alguém deve ver essas duas coisas?
user6818
Não - usamos o resultado Raghavendra-Steurer-Tulsiani para obter um resultado diferente.
Boaz Barak
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@Boas Barak Então Raghavendra-Steurer-Tulsiani mostra uma redução polinomial desse para ? (A existência dessa redução não tem nada a ver com o valor especial específico ?)U G C ( ϵ , δ ) ϵ = O ( l o g ( 1SSEH(ϵ,δ)UGC(ϵ,δ)ϵ=O(log(1δ))
user6818 2/15/15