Maior célula em um arranjo

Q . Qual é a complexidade de encontrar a maior célula delimitada por volume em um arranjo de hiperplanos na dimensão d ?$n$$d$

Sinto que deveria saber disso ... Mas não estou encontrando uma referência definitiva.

É ? E a especialização d = 2 : a maior célula delimitada por área em um arranjo de linhas?$\Omega(n^d)$$d{=}2$

De alguma forma, fazer melhor que parece difícil. Se a célula for significativamente maior que o tamanho médio esperado, pode-se usar a amostragem para encontrá-la. Formalmente, assuma que as células delimitadas (no plano) formam um polígono da área 1 (esse polígono Q pode ser calculado em tempo quase linear no plano). Suponha que a maior célula delimitada C, no arranjo de linhas, tenha a área α ≫ 1 / seja o conjunto de pontos resultante. Com alta probabilidade, um dos pontos cai dentro de C , e o cálculo de todas as faces do arranjo que contém os pontos de P leva O ( $O(n^d)$$1$$Q$$C$ . Amostra, m = ( log n ) / α pontos de Q - e deixe$\alpha \gg 1/n^2$$m = (\log n)/\alpha$$Q$$P$$C$$P$ hora usando magia padrão (isto é, algoritmos para calcular muitas faces no arranjo de linhas).$O(( n^{2/3} m^{2/3} + n + m)*\mathrm{polylog})$

$\alpha$$O\Bigl( \bigl(n + 1/\alpha + n^{2/3}/\alpha^{2/3}\bigr) \mathrm{polylog n}\Bigr)$$\alpha$$Q$