A complexidade dos hamiltonianos com leis de área

Recentemente, pensei em "importar" algumas questões relacionadas à física para o CS quântico:

A noção do fenômeno da lei de área nos sistemas hamiltonianos geralmente representa um hamiltoniano local em alguma rede, cujo estado fundamental exibe uma propriedade na qual o emaranhamento de qualquer região fechada é proporcional à superfície da região e não ao seu volume (como seria para um estado geral). Uma conjectura famosa é se todos os hamiltonianos com brechas constantes exibem essa propriedade de direito de área. Para sistemas unidimensionais, essa pergunta foi respondida de forma positiva por Hastings (arXiv: 0705.2024).

No entanto, a conexão entre esses sistemas e a teoria da complexidade é muito vaga: enquanto o resultado de Hastings implica que os sistemas que cumprem a lei da área 1-D podem ser simulados classicamente, para sistemas gerais isso é desconhecido. Portanto, minha pergunta é: vale a pena a busca para resolver a conjectura de direito de área? Ou, em termos contraditórios, pode-se chegar a um Hamiltoniano local completo com QMA, que também cumpra as leis da área. Uma rápida olhada nos Hamiltonianos locais completos com QMA conhecidos, que são essencialmente todos baseados no teorema quântico de Cook-Levin de Kitaev, resulta que esses Hamiltonianos não possuem a propriedade da lei de área.

Pode-se considerar o seguinte exemplo um pouco tolo de um sistema 2D que obedece a uma lei de área que é completa com QMA. Pegue um sistema 2d, uma linha igual a um dos Hamiltonianos 1d completos com QMA conhecidos (consulte Aharonov, Gottesman, Irani, Kempe) e todas as outras linhas estão no estado do produto. Então, isso obedece a uma lei de área (considere desenhar um retângulo que inclua a linha especificada, com k linhas e l colunas; o emaranhamento é limitado por tempos constantes l e a área também é pelo menos igual a l).

No entanto, isso, na minha opinião, certamente não significa que provar uma lei de área em 2d seria inútil do ponto de vista da complexidade. Em vez disso, acho que significa que precisamos considerar não apenas a lei da área para entropia de entrelaçamento, mas também outras propriedades de entrelaçamento. Uma dessas propriedades seria ter um PEPS de dimensão de ligação polinomial. Na verdade, provar que existe uma lei de área em 2d não implica ter um PEPS de dimensão de vínculo polinomial. A implicação em 1d se baseia no fato de que podemos cortar o sistema através de várias ligações, truncar para uma classificação de Schmidt polinomial em cada ligação e limitar o erro. Este procedimento não funciona em 2D. Portanto, provar a existência de um PEPS para um sistema com lacunas em 2D seria o próximo passo. Meu sentimento é que provar uma lei de área em 2D seria um bom primeiro passo para fazer isso.

De fato, é bem estudado na física da matéria condensada que existem 2d hamiltonianos indefesos que obedecem a uma lei de área. Enquanto em 1d, os sistemas que são descritos pela teoria de campo conforme têm um comportamento logarítmico da entropia de entrelaçamento, em 2d muitos sistemas críticos mostram uma lei de área e, em seguida, os logs aparecem em comportamento sublinhado, de modo que a entropia é igual a L + const * log (L) + ... Ou seja, os termos universais interessantes na entropia não são os termos principais, mas a subliminação, nessas teorias 2d.

Agradecemos a resposta detalhada e perspicaz e aprimoramos a distinção entre a lei de área e a dimensão de vínculo polinomial.