Complexidade da recuperação de uma matriz adjacente a partir de seu quadrado

18

Estou interessado no seguinte problema: Dado um matriz, existe um grafo não direcionado em n vértices cuja adjacência matriz ao quadrado é essa matriz?n×nn

A complexidade computacional desse problema é conhecida?

Observações:

  • Obviamente, isso também pode ser formulado como um problema de pesquisa, onde você recebe a matriz para A uma matriz de adjacência de um gráfico não direcionado e o problema é encontrar qualquer matriz de adjacência (de um gráfico não direcionado) B, tal que B 2 = A 2 .A2ABB2=A2

  • Motwani e Sudão ( computação das raízes dos gráficos é difícil , 1994) e Kutz ( A complexidade da computação da raiz da matriz booleana , 2004) mostram problemas semelhantes, mas distintos, desse problema são difíceis de NP - eles consideram apenas o quadrado das matrizes de adjacência na matriz booleana multiplicação.

Ben Fish
fonte
O problema é equivalente a decidir a existência de vetores com determinados produtos internos em pares. n
Mohammad Al-Turkistany
2
Muito recentemente, houve um trabalho abordando essa questão para matrizes estocásticas em vez de matrizes de adjacência ( arxiv.org/abs/1411.7380 ). A propriedade de ser um quadrado nesse contexto é conhecida como divisibilidade e é mostrada como NP-completa no artigo que mencionei.
Māris Ozols
2
@ MohammadAl-Turkistany como são equivalentes? A solução para o problema do OP requer estrutura adicional que vetores genéricos (valor inteiro, determinados índices devem ser zero, etc).
Jeremy Kun
Isso deve estar relacionado à verificação se uma sequência de graus é gráfica. Note-se que em a diagonal representa a sequência de grau e ( A 2 ) eu j o número de vizinhos comuns de vértices i , j . Portanto, é uma restrição ao problema da sequência gráfica de graus. Nenhuma idéia de como resolvê-lo embora. A2(A2)iji,j
samid

Respostas:

3

Sabe-se que quadrados de gráficos bipartidos podem ser reconhecidos em tempo polinomial (Veja isto ). Em geral, há uma caracterização da complexidade desse problema com base na circunferência do gráfico subjacente.

ss

Nikhil
fonte
7
Obrigado pela resposta, mas os resultados mencionados não são relevantes para esse problema - eles assumem, como no artigo de Motwani e Sudão, que a matriz fornecida é uma matriz adjacente e o objetivo é encontrar outro gráfico cuja matriz adjacente ao quadrado A multiplicação de matrizes booleanas é a matriz fornecida. Considerando que neste problema não é booleano, mas multiplicação de matriz inteira. Em outras palavras, esse problema não se refere à raiz quadrada de um gráfico, pois eles usam o termo.
Ben Peixe
@BenFish Oops. Entendeu mal sua pergunta. Para matrizes inteiras, não vejo uma maneira melhor do que apenas aproximar a raiz quadrada da matriz, embora eu presuma que você esteja interessado em computar isso como a raiz quadrada de um gráfico ponderado (e não tenho idéia de como fazer isso)
Nikhil
@Nikhil a raiz quadrada de uma matriz não é original, assim que fazendo isso não resolver a questão
Lev Reyzin
@LevReyzin Você está correto. Em geral, acho que a singularidade pode ser caracterizada pelo espectro da matriz (talvez eles não forneçam uma condição necessária e suficiente). Há alguns resultados interessantes conhecidos por matrizes estocásticos - Veja eprints.ma.man.ac.uk/1241/01/covered/MIMS_ep2009_21.pdf
Nikhil
1

Se o gráfico subjacente for um gráfico esparso e aleatório, pode-se resolver o problema da "raiz quadrada do gráfico" em tempo polinomial; isso também é válido para gráficos ponderados. Exemplos de artigos que usam essa idéia são: Encontrar comunidades sobrepostas em redes sociais e limites prováveis ​​para aprender algumas representações profundas . Alguma idéia sobre algoritmos semelhantes para raízes de cubos de grafos, quarta raízes etc.?

Pratik
fonte