Estou interessado no seguinte problema: Dado um matriz, existe um grafo não direcionado em n vértices cuja adjacência matriz ao quadrado é essa matriz?
A complexidade computacional desse problema é conhecida?
Observações:
Obviamente, isso também pode ser formulado como um problema de pesquisa, onde você recebe a matriz para A uma matriz de adjacência de um gráfico não direcionado e o problema é encontrar qualquer matriz de adjacência (de um gráfico não direcionado) B, tal que B 2 = A 2 .
Motwani e Sudão ( computação das raízes dos gráficos é difícil , 1994) e Kutz ( A complexidade da computação da raiz da matriz booleana , 2004) mostram problemas semelhantes, mas distintos, desse problema são difíceis de NP - eles consideram apenas o quadrado das matrizes de adjacência na matriz booleana multiplicação.
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Respostas:
Sabe-se que quadrados de gráficos bipartidos podem ser reconhecidos em tempo polinomial (Veja isto ). Em geral, há uma caracterização da complexidade desse problema com base na circunferência do gráfico subjacente.
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Se o gráfico subjacente for um gráfico esparso e aleatório, pode-se resolver o problema da "raiz quadrada do gráfico" em tempo polinomial; isso também é válido para gráficos ponderados. Exemplos de artigos que usam essa idéia são: Encontrar comunidades sobrepostas em redes sociais e limites prováveis para aprender algumas representações profundas . Alguma idéia sobre algoritmos semelhantes para raízes de cubos de grafos, quarta raízes etc.?
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