Alguém já explorou qual é a complexidade do circuito de problemas clássicos de decisão, como Primes ou Isomorfismo de Gráfico, para o tamanho pequeno de entrada ?
Enquanto a maioria das pessoas está interessada em saber como a escala vai como , acho que também seria interessante ver como isso cresce para N. pequeno. Claro, agora sabemos que Primes está em P, mas seria interessante ver como cresce, e talvez até mudanças bruscas na taxa de crescimento do gráfico, à medida que as entradas aumentam o suficiente para que um algoritmo diferente se torne mais eficiente.
Existe até a possibilidade (improvável) de que alguém possa extrair de uma sequência de circuitos um algoritmo geral.
Parece que essa abordagem pode responder a perguntas diferentes das geralmente feitas sobre . Com os avanços do conhecimento de algoritmos (solucionadores SAT, etc.) e do poder da super computação, respostas concretas podem ser obtidas para N pequeno .
Existem referências ou listas de resultados para pessoas que explicitamente calculam a complexidade do circuito de problemas de decisão para pequeno ?
Se houver pessoas trabalhando nisso, que algoritmos eles usam atualmente para resolver o problema mínimo de circuito (dada uma função booleana e um conjunto de portas, produza um circuito usando o número mínimo de portas necessário)?
Respostas:
Sim, essa é uma ideia natural e as pessoas pensaram nisso. Em suma, o problema é que mesmo os solucionadores de SAT / QBF de ponta permitem encontrar apenas circuitos muito pequenos (com cerca de 10 a 12 portas), sem falar em provar que não há um circuito pequeno. Algumas referências:
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Em muitos modelos não uniformes - circuitos booleanos, circuitos algébricos, árvores de decisão, programas de ramificação etc. - calcular a complexidade exata parece ser significativamente mais difícil do que calcular a complexidade assintótica. Embora tenha esperança de que sua intuição esteja correta - que entender a complexidade exata de pequenas instâncias possa levar a insights assintóticos - conheço apenas alguns casos em que isso aconteceu:
Algoritmos e limites inferiores para multiplicação matricial de pequenos formatos. Houve bastante trabalho em 2x2 ( Strassen ), 3x3 ( Laderman ) e outros pequenos formatos para multiplicação de matrizes (veja também Johnson-McLoughlin e Hopcroft-Kerr ). Originalmente, eles costumavam ser usados para fornecer melhorias assintóticas, devido à estrutura recursiva da multiplicação da matriz. Eventualmente, Coppersmith-Winograd suplantou tudo isso no reino assintótico.
Os limites inferiores do estilo GCT na multiplicação de pequenas matrizes devido a Bürgisser e Ikenmeyer produziram limites inferiores assintóticos na multiplicação de matrizes. Eu acho que isso é pelo menos parcialmente porque a estrutura teórica da representação sugere naturalmente como transformar um único limite inferior exato em uma família infinita.
(Veja a resposta de Alexander Kulikov para mais algumas)
Além disso, houve uma quantidade pequena, mas não trivial, de trabalho sobre a complexidade exata de vários problemas, mas a maioria dos problemas é mais fácil do que GraphIso ou Primes (exceto o último exemplo da permanente). Embora eu ache este trabalho interessante e mantenho a esperança de que leve a insights teóricos mais amplos, até onde sei, ainda não o fez.
Também houve algum trabalho em redes exatas de classificação de profundidade mínima ( Bundala e Závodný parecem ser as mais recentes).
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