Consequência de PIT sobre não possuir algoritmo eficiente

Dado modo que os coeficientes de sejam delimitados por , aguarde?p , q B p ≡ $p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$$p,q$$B$$p\equiv q$

O lema de Schwartz-Zippel se aplica aqui, pois é válido para campos gerais e e existe um algoritmo aleatório eficiente para esse problema.$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Esperamos que esse problema tenha uma des randomização eficiente.

Qual é a conseqüência se esse problema não tiver uma derandomização eficiente?

Como o PIT está em , se não houver derandomização eficiente, então (e, em particular, , mas isso é não é tão surpreendente, já que esperamos que isso seja verdade). Isso também implica, é claro, que , portanto, qualquer coisa que implique em se torna falso. Por exemplo, geradores de números pseudoaleatórios suficientemente fortes não existem e teria circuitos de tamanho subexponencial!P ≠ R P P ≠ N P P ≠ B P P P = B P P E = D T I M E ( 2 O ( n )$\mathsf{coRP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$$\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$$\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

Você está se perguntando sobre questões gerais aqui. Um número natural pode canonicamente ser representado em notação unária, mas essa representação é bastante ineficiente em termos de espaço. Você também pode representá-lo em notação binária, que é mais eficiente em termos de espaço, mas não é mais canônica, porque você também pode usar notação de inquilino ou notação decimal. Mas observe que a representação por circuitos não é significativamente menos eficiente que a notação binária; veja, por exemplo,

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

E observe que isso (...)*(1+1)pode ser substituído por x:=(...) in x+x, então você nem precisa de multiplicação para isso. Mas, como você tem multiplicação, pode representar números como eficientemente 1011^101101. Observe também que você pode adicionar, subtrair e multiplicar números com eficiência nessa representação. Mas essa representação não se limita a números; ela funciona exatamente da mesma maneira para funções polinomiais multivariadas. E para os polinômios, é até uma representação bastante natural, porque os polinômios são a álgebra livre para anéis comutativos e a representação como circuito pode ser usada para qualquer álgebra livre.

Mas vamos voltar aos números (naturais) por um momento, números como . NJ Wildberger escreveu alguns discursos ultrafinitistas, por exemplo, Teoria dos Conjuntos: Você Deveria Acreditar? . Na seção Mas e os números naturais? a existência de números como é admitida, porque você pode obviamente anotá-los. Mas a existência de quase todos os números naturais entre e c 0 $c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$$c$$0$$c$é negado, porque a maioria desses números conteria mais informações do que poderia ser representado pelo universo físico. A maior parte do discurso apenas me fez rir, mas esse ponto me fez pensar. Filósofos como Willard Van Orman Quine protestaram contra a alegação da existência de possíveis não-realizados, entre outros, porque esses levam a elementos desordenados que não podem ser considerados significativos como idênticos a si mesmos e distintos um do outro. Por isso, achei bastante razoável me perguntar sobre apresentações de números para as quais uma ainda realiza adição, subtração e multiplicação, e pelo menos de forma significativa determinar se dois números são distintos um do outro. A representação do circuito consegue isso ...

Voltar para polinômios e representações de circuitos de álgebras livres. Aqui estão algumas perguntas gerais:

• Essa representação de uma álgebra livre sempre permite testes probabilísticos de identidade eficientes ou é limitada a anéis comutativos?
  -> O teste de identidade é muitas vezes até indecidível: para , a rede modular livre gerada por elementos é infinita e, de fato, apresenta um problema indecidível de palavras (Freese, Herrmann).$n\geq 4$$n$
• Existe uma álgebra livre para a qual testes de identidade determinísticos eficientes invalidariam quaisquer conjecturas comumente consideradas, como P! = NP?
  -> Sim, o teste de identidade da álgebra livre para anéis comutativos regulares é NP-completo. Não percebi isso por um longo tempo, veja abaixo ...
• Um teste de identidade determinística eficiente para (= álgebra livre de anéis comutativos) invalidaria alguma conjectura interessante ?$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Estou me perguntando especialmente sobre a álgebra livre para anéis comutativos regulares aqui (ou seja, anéis com uma operação inversa generalizada), pois eles permitiriam representar números racionais e funções racionais. Observe que, se tivéssemos usado essa representação apenas para números, poderíamos ter nos perguntado se podemos testar eficientemente a < bessa representação. Essa pergunta não faz sentido para o anel comutativo livre, mas pode fazer sentido para polinômios, se os interpretarmos no contexto de anéis parcialmente ordenados livres. Mas um anel parcialmente ordenado é apenas uma estrutura relacional em vez de uma álgebra, então esse é um tipo diferente de pergunta ...

O lema de Schwartz-Zippel se aplica aqui, pois é válido para campos gerais e e existe um algoritmo aleatório eficiente para esse problema.$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Bem, é verdade que o lema de Schwartz-Zippel se aplica aqui e que existe um algoritmo aleatório eficiente para esse problema, mas esses dois fatos não estão diretamente relacionados. Lembre-se de que é fácil representar com eficiência polinômios como por um circuito. Portanto, se é o tamanho do circuito, é fácil obter magnitudes de coeficiente de ou . Dito isto, a identidade polinomial probabilístico testando ainda funciona sobre . O limite dos coeficientes é algo comon 7 2 n / 2 5 3 n / 3 Z B = exp ( exp ( n ) ) O ( log B $((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$$n$$7^{2^{n/2}}$$5^{3^{n/3}}$$\mathbb Z$$B=\exp(\exp(n))$, e você só precisa adivinhar aleatoriamente um número primo que não divide simultaneamente todos os coeficientes. Existem números primos suficientes da ordem para fazer isso de maneira probabilística eficiente.$O(\log B)$

Eu consideraria bastante surpreendente se PIT acima de pudesse ser derandomizado. Mas uma surpresa semelhante aconteceu comigo antes, quando o teste de primalidade foi des randomizado.$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Por outro lado, também acredito que você pode usar qualquer gerador de números pseudoaleatórios razoável e, assim, decidir o PIT para todos os fins práticos, se você apenas testar o tempo suficiente. Eu só acredito que você nunca pode se livrar da dúvida restante (pequena infinitesimal), semelhante aos conjuntos de medidas zero, que permanecem irritantes por não estarem vazios.