Dado um grafo orientado fixo (d�rafo) , a -COLORING problema decisão pergunta se um digrama de entrada tem um homomorphism para . (Um homomorfismo de para é um mapeamento de para que preserva os arcos, ou seja, se é um arco de , então é um arco de )D L D L D F V ( L ) V ( D ) u v L f ( u ) f ( v ) D
A classe de problemas COLORING está fortemente ligada à conjectura de dicotomia para CSPs declarada por Feder e Vardi (acessível no cidadão ).
No presente artigo de 2001 (acessível na página do autor, aqui ), Feder prova um teorema dicotomia quando é um ciclo orientado (por ciclo orientada quero dizer um ciclo sem direção, onde cada aresta é substituído por um único arco, que pode ser orientado de forma arbitrária) , em outras palavras, ele mostra que para qualquer ciclo orientada , -COLORING é ou polinomial-tempo solúvel ou NP-completo.D
Infelizmente, a classificação de Feder é altamente não trivial e não explícita, pois a complexidade de muitos casos está relacionada à complexidade de certas variantes restritas de SAT que dependem da orientação. Ao examinar o artigo, não consegui determinar a resposta para minha pergunta:
Pergunta: Qual é o menor tamanho de um ciclo orientado modo que -COLORING seja NP-complete?D
A resposta pode ser declarada em algum lugar da literatura, mas não consegui encontrá-la.
Editar:Deixe-me dar mais detalhes sobre a classificação de Feder. Feder mostra que qualquer ciclo orientado a NP completo deve ser equilibrado, ou seja, ter o mesmo número de arcos nas duas direções (portanto, ele tem ordem uniforme). Em seguida, considere os "níveis" induzidos pela orientação (comece a percorrer o ciclo em um vértice arbitrário; se um arco der certo, você aumenta 1, se um arco fica à esquerda, diminui 1). Então, se houver no máximo uma "execução de cima para baixo", é polinomial. Se houver pelo menos três dessas "execuções" e o ciclo for um núcleo, será NP-completo. (No exemplo dos comentários de András, existem três "corridas", mas o ciclo não é essencial.) Os casos mais complicados são aqueles com duas "corridas de cima para baixo". Alguns são difíceis, outros polinomiais, e Feder os relaciona a problemas especiais de SAT para obter uma dicotomia.
Como uma pergunta intermediária: qual é o menor ciclo orientado que possui três execuções "de cima para baixo" e é um núcleo? Esse exemplo seria NP-completo pela discussão acima.
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Respostas:
Para a pergunta intermediária (um núcleo com três execuções de cima para baixo), que tal isso?
Alguma notação: descreverei execuções por palavras em , com, por exemplo, correspondendo a um subgrafo . O nível aumenta em arcos e diminui em arcos, e suponho que seu mínimo seja . Algumas restrições simples são:{l,r}∗ llrl ⋅←⋅←⋅→⋅←⋅ r l 0
No entanto, para o nível máximo existe uma solução de comprimento : considere dado por . Possui as execuções necessárias de cima para baixo e é um núcleo (veja abaixo). Pelas restrições acima, é necessariamente mínimo, pois cada execução possui apenas uma única borda "para trás".4 36 D (rrrlrrlllrll)3
Para nos convencer de que isso é essencial, vamos primeiro nomear os vértices ( ). Os vértices inferiores (ou seja, nível ) são . Qualquer homomorfismo de a um subgráfico deve preservar níveis e, em particular, ; módulo o óbvio automorfismo , basta considerar o caso . Considere a vizinhança de em (anotada com níveis):v1,…,v36 0 v1,v13,v25 φ D φ(v1)∈{v1,v13,v25} vi↦vi+12 φ(v1)=v1 v1 D
Começando com , temos . Mas se , então , e não temos valor possível para . Obtemos . Em seguida , mas para obtemos , sem valor possível para . Portanto, deve ser a identidade em toda a execução e, repetindo o mesmo argumento para as execuções restantes, o mesmo ocorre em todos osφ(v1)=v1 φ(v2)∈{v36,v2} φ(v2)=v36 φ(v3)=v35 φ(v4) φ ( v 5 ) ∈ { v 3 , v 5 } φ ( v 5 ) = v 3 φ ( v 6 ) = v 4 φ ( v 7 ) φ v 1 → … → v 7 D φ Dφ(v2)=v2,φ(v3)=v3,φ(v4)=v4 φ(v5)∈{v3,v5} φ(v5)=v3 φ(v6)=v4 φ(v7) φ v1→…→v7 D . Em particular, não mapeia em um subgráfico apropriado.φ D
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