Quando o BPP com uma moeda tendenciosa é igual ao BPP padrão?

Permita que uma máquina de Turing probabilística tenha acesso a uma moeda injusta que aparece cara com probabilidade (os flips são independentes). Defina como a classe de idiomas reconhecíveis por essa máquina no tempo polinomial. É um exercício padrão para provar que: $p$ $BPP_p$

A) Se é racional ou mesmo -computable então . (Por -computable eu média: existe um algoritmo polinomial que está sendo alimentado ao acaso em retornos unárias whp o racionais binário com denominador que se encontra dentro de de .) $p$ $BPP$ $BPP_p=BPP$ $BPP$ $n$ $2^n$ $2^{-n-1}$ $p$

B) Para alguns uncomputable a classe contém uma linguagem indecidible e, portanto, é maior do que . Tais valores de formam um conjunto denso em . $p$ $BPP_p$ $BPP$ $p$ $(0,1)$

Minha pergunta é a seguinte: o que acontece no meio? Existe um critério para ? Em particular: $BPP_p=BPP$

1) Existem probabilidades incomputáveis em tal modo que ? (Eles podem ser computados em algumas classes mais altas). $BPP$ $p$ $BPP_p=BPP$

2) mais largo que para todos os computáveis ? (Os parâmetros em questão são aqueles cuja expansão binária contém seqüências muito longas de zeros e / ou uns. Nesse caso, a computação de bits por amostragem aleatória pode levar um tempo muito longo e até incômodo, e o problema não pode ser redimensionado para o tempo polinomial. Às vezes, o dificuldade pode ser superada por outra base de expansão, mas certos podem enganar todas as bases). $BPP_p$ $BPP$ $p$ $p$

cc.complexity-theory randomized-algorithms probabilistic-complexity Daniil Musatov
fonte

O que exatamente você quer dizer com p ser (in) computável?

Daniello

Eu adicionei a definição de

-computable. Para computável em geral, pode-se simplesmente soltar as palavras "polinômio aleatório" ou simplesmente dizer que a expansão binária é computável. (Com recursos limitados isso não é o mesmo.)

B P P

$BPP$

Daniil Musatov

Penso que

para cada

computável, porque dada uma moeda com viés de

pode-se calcular o

ésimo bit de

por amostragem. Suponha que possamos calcular o

ésimo bit no tempo

, então o idioma que contém

para todos os

modo que o

'o bit de

seja

esteja em

B P P_{p} \neq B P P

$BPP_p \neq BPP$

p

$p$

p

$p$

n

$n$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

1^{x}

$1^x$

x

$x$

f^{- 1} (x)

$f^{-1}(x)$

p

$p$

1

$1$

B P P_{p}

$BPP_p$ , mas claramente é incontestável.

Daniello

Definitivamente, isso é verdade para a grande maioria das

. Mas há uma ressalva: se

contiver sequências muito longas de zeros e uns, pode ser necessária uma amostragem muito longa para determinar o

ésimo bit. Essa amostragem pode ser tão longa que

seria incontestável (como a função Busy Beavers). Também duvido que possa ser calculado com precisão a partir da própria amostragem. E parece que sem computar

não se pode reconhecer a linguagem mencionada.

p

$p$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

Daniil Musatov

Respostas:

1) Sim, mas apenas por causa da sua definição. Pegue uma linguagem unária (sim, eu sei que isso pode estar vazio, nesse caso, basta pegar algo ainda maior que ), que é muito escasso no sentido de que se não é uma torre de , ou seja, da forma . Defina . Este não é $L\in EXP\setminus BPP$ $EXP$ $n\notin L$ $n$ $2's$ $2^{2^{2^\ldots}}$ $p=\sum_{n\in L} 1/n$ $p$ -computable, mas pode ser aproximada em -se a um erro aditivo suficientemente pequena que permite a simulação de um máquina. $BPP$ $p$ $P$ $BPP_p$

Se você tivesse definido -computable de tal forma que você quiser aproximada -se a um erro aditivo de (em vez de ) em tempo polinomial, as coisas seriam diferentes. $BPP$ $p$ $1/n$ $1/2^n$

Atualizar. A resposta abaixo é para o caso em que o erro aditivo que permitimos é vez de . $2^{-n}$ $2^{-n-1}$

2) Sim, porque aqui você pode esquecer a restrição polinomial das classes e, amostrando vezes, pode obter o ésimo bit de em . $2^n$ $n$ $p$ $BPP_p$

domotorp
fonte

2) Penso que o teorema do limite central sugere que se deve amostrar

, e não

, vezes para obter a precisão

. Mas o principal problema é que, às vezes, precisamos de uma precisão muito maior. Diga se

2^{2 n}

$2^{2n}$

2^{n}

$2^n$

2^{- n}

$2^{-n}$

então é preciso

| p - \frac{1}{2} | < ϵ

$|p-\frac12|<\epsilon$

amostras para calcular ainda o primeiro dígito. E o número de amostras necessárias pode ser arbitrariamente, mesmo que de maneira incontestável, grande. O ponto é um pouco esclarecido na edição.

\frac{1}{ϵ^{2}}

$\frac1{\epsilon^2}$

Daniil Musatov 08/08/16

@ Daniil: Como já comentei a questão, você não pediu o cálculo dos dígitos em sua definição de

-computável. Portanto, se

é igual a, digamos,

, deve-se adivinhar

para o primeiro dígito após a vírgula, de acordo com a sua definição.

B P P

$BPP$

p

$p$

0.01111111111

$0.01111111111$

1

$1$

domotorp 8/08/16

Agora estamos falando de

desconectável , não estamos? Se eu entendi direito, você sugere não calcular amostrando dígitos de

, mas sim calcular se o

ésimo dígito da aproximação racional binária

é 1. Mas aqui enfrentamos o mesmo problema: calcular o primeiro dígito, precisamos distinguir 0,010000000001 e 0,001111111110.

p

$p$

p

$p$

i

$i$

2^{- i - 1}

$2^{-i-1}$

p

$p$

Daniil Musatov

@ Daniil: OK, meu mal, eu pensei que você queria um racional binário cuja distância é no máximo

. Atualizei minha resposta de acordo. Você está feliz com a minha solução para 1)?

2^{- n}

$2^{-n}$

p

$p$

Domotorp 8/08