Decidability
É decidível. Há apenas um número finito de funções possíveis , para que possa modelar isso como um problema gráfico acessibilidade, com um vértice por função e uma borda g → h se existe uma ∈ y- tal que h = f um ∘ g . Então, testar se uma função g está em G reduz para testar se g é alcançável no gráfico a partir de f ϵ . Você pode encontrar a palavra mais curta usando a primeira vez. O tempo de execução pode ser exponencial em Qf:Q→Qg→ha∈Γh=fa∘ggGgfϵQ, Apesar.
Comprimento da palavra
A palavra mais curta pode ser exponencialmente longa. Aqui está um exemplo desse DFA. Seja os primeiros k primos. Então um estado terá a forma ( i , x ) em que i ∈ { 1 , … , k } e x i ∈ { 0 , 1 , … , p i - 1 } . Definir um DFA com alfabeto unário Γ = {p1,…,pkk(i,x)i∈{1,…,k}xi∈{0,1,…,pi−1} e a função de transição δ ( ( i , x ) , 0 = ( i , x + 1 mod p i ) . A função f 0 : Q → Q é dada porΓ={0}δ((i,x),0=(i,x+1modpi)f0:Q→Q
f0(i,x)=(i,x+1modpi).
Agora considere a função dada porg:Q→Q
g(i,x)=(i,x−1modpi).
É possível utilizar o teorema restante chinês para mostrar que em que n = p 1 × p 2 × ⋯ × p k - 1 , e que 0 n é o mais curto tal palavra. Além disso, | Q | = P 1 + ⋯ + p k , de modo que n é exponencialmente grande em Q .g=f0nn=p1×p2×⋯×pk−10n|Q|=p1+⋯+pknQ
Consequentemente, não há esperança para um algoritmo de tempo polinomial que produza essa palavra. Isso ainda deixa em aberto a possibilidade de um algoritmo de tempo polinomial para decidir se está em G , no entanto.gG