Qual é a variação seguinte no Set Cover conhecida como?

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Qual é a variação seguinte na capa do conjunto conhecida como?

Dado um conjunto S, uma coleção C de subconjuntos de S e um número inteiro positivo K, existem conjuntos de K em C de modo que cada par de elementos de S esteja em um dos subconjuntos selecionados.

Nota: Não é difícil ver que esse problema é NP-Completo: Dado um problema normal de cobertura do conjunto (S, C, K), faça três cópias de S, digamos S ', S' 'e S' '', então crie seus subconjuntos como S '' ', | S | subconjuntos do formulário {a '} U {x em S' '| x! = a} U {a ''}}, | S | subconjuntos do formulário {a ''} U {x em S '| x! = a} U {a '' '}, {a', a '' | a em C_i}. Então, podemos resolver o problema da tampa do conjunto com subconjuntos K, se pudermos resolver o problema da tampa do par com K + 1 + 2 | S | subconjuntos.

Isso generaliza para triplos, etc. Eu gostaria de não desperdiçar meia página para provar isso, e provavelmente não é óbvio o suficiente para ser considerado trivial. Certamente é bastante útil que alguém tenha provado isso, mas não tenho idéia de quem ou onde.

Além disso, existe um bom lugar para procurar resultados de NP-Completeness que não estejam em Garey e Johnson?

deinst
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Respostas:

7

Para responder à sua segunda pergunta, o compêndio de resultados de dureza NP da Kahn-Crescenzi é uma fonte valiosa para resultados de dureza e também abrange muitas variantes dos principais problemas de G&J. A entrada para a cobertura do conjunto é um bom exemplo disso.

Suresh Venkat
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2
Eu já tinha visto isso antes e, sim, ajuda, mas nem sequer começa a arranhar a superfície do que foi comprovado como NP-Complete. Para dar outro exemplo, demorei muito mais para encontrar a prova de Uehara de que a Vertex Cover era NP-complete em um gráfico planar cúbico de 3 conexões do que demorei para provar. (Sua prova foi muito mais limpo do que a minha.)
deinst
7

Parece que você está generalizando a cobertura do conjunto para considerar não apenas elementos de S, mas todos os subconjuntos tamanho S. de S. Podemos afirmar o problema de maneira mais geral:

"Dado um conjunto S, uma coleção C de subconjuntos de S e um número inteiro positivo m, qual é o menor número de elementos de C, de modo que cada subconjunto tamanho-M de S esteja em um dos elementos selecionados de C?"

Isso realmente me parece uma generalização bastante óbvia da cobertura do set, e não uma que você precisaria gastar tempo provando NP-complete além de uma única linha. Afinal, escolher m = 1 recupera o problema de capa do conjunto original. Talvez essa formulação mais geral seja boa o suficiente para seus propósitos, para evitar a necessidade de entrar nos detalhes?


Sua pergunta sobre um conjunto atualizado de resultados de completude de NP é boa e merece sua própria pergunta. Crescenzi e Kann reuniram um compêndio útil online aqui .

Segundo, é pouco difundido, mas o Manual de Projeto de Algoritmos de Steven Skiena é frequentemente uma primeira parada útil para um grande número de problemas e está disponível online em parte .

Anand Kulkarni
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Estou interessado apenas em m = 2. Pode ser que exista uma prova de uma linha, mas essa prova me escapa. Acredito que afirmei isso claramente na segunda frase da pergunta.
deinst 16/08/10
Desculpas; Eu não quis sugerir que haja uma prova curta no caso em pares! A prova de uma linha que sugeri é apenas na versão geral do problema: "o caso especial de m = 1 recupera a cobertura padrão do conjunto". Como você ressalta, a prova no caso em pares é óbvia (introduza elementos e conjuntos fictícios na capa de conjunto padrão para gerar uma capa de conjunto emparelhada), mas sim, seriam necessárias algumas linhas para mostrar que era formal. Vou ver se consigo encontrar alguma referência na literatura.
Anand Kulkarni