Contra-exemplo para algoritmos de fluxo máximo com pesos irracionais?

Sabe-se que Ford-Fulkerson ou Edmonds-Karp com a heurística do tubo de gordura (dois algoritmos para fluxo máximo) não precisam parar se alguns pesos forem irracionais. De fato, eles podem até convergir para o valor errado ! No entanto, todos os exemplos que pude encontrar na literatura [referências abaixo, mais referências nela] usam apenas um único valor irracional: a proporção áurea conjugada e outros valores que são racionais ou são múltiplos racionais deϕ′. Minha pergunta principal é:$\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$$\phi'$

Pergunta geral: O que acontece com outros valores irracionais?

Por exemplo (mas não pense que você precise responder a todas essas postagens - eu acho interessante uma resposta a qualquer uma ou a outras perguntas que se enquadram na pergunta geral acima):

1. Dado qualquer , pode-se construir (ou mesmo mostrar a existência de) tais contra-exemplos?$\alpha \in \mathbb{R}$

2. Mais fraca: existem exemplos conhecidos que usam um valor irracional essencialmente diferente de ? Isto é, existe alguma α que não é um múltiplo racional de φ ' (ou mais fortemente não em Q ( φ ' ) ) e de tal modo que há contra-exemplos para Ford-Fulkerson e / ou Edmonds-Karp, onde todos os pesos se encontram em Q ( α ) ?$\phi'$$\alpha$$\phi'$$\mathbb{Q}(\phi')$$\mathbb{Q}(\alpha)$

3. Na outra direção, existe um irracional tal que Ford-Fulkerson (respectivamente Edmonds-Karp) pára com o valor correto em todos os gráficos cujos pesos são todos de Q ∪ { q α : q ∈ Q } ? (Ou mais fortemente, de Q ( α ) ?)$\alpha$$\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$$\mathbb{Q}(\alpha)$

Em todos os casos, quero assumir algo como o modelo real de RAM, para que comparações exatas e aritméticas e exatas de números reais sejam feitas em tempo constante.

(Existem outros algoritmos de fluxo máximo que são conhecidos por rodar em tempo fortemente polinomial, mesmo com pesos reais arbitrários, talvez por isso esse tipo de pergunta talvez não tenha sido mais explorado. Mas acabei de ensinar esses algoritmos na minha classe de algoritmos de graduação , Ainda estou curioso sobre isso.)

Referências

• Um contra-exemplo mínimo para Ford-Fulkerson foi dado por Zwick TCS 1999

• Um contra-exemplo para Edmonds-Karp foi dado por Queyranne ou Queyranne Math. Oper. Res. 1980 , embora eu não saiba se isso é mínimo.

• Ambos podem ser encontrados nas notas da aula de Jeff Erickson , com a primeira na Seção 23.5 e a segunda como Exercício 14 da Aula 23.

$r$

• $n=6$$m=8$
• em que sete arcos têm capacidade inteira,
• $r$
• e em que Ford-Fulkerson pode não terminar.

Isso foi provado no artigo

Toshihiko Takahashi:
"A rede mais simples e menor na qual o procedimento de fluxo máximo de Ford-Fulkerson pode não
terminar " Journal of Information Processing 24, pp 390-394, 2016.
Link: https: //www.jstage.jst.go. jp / article / ipsjjip / 24/2 / 24_390 / _article

Obrigado pela pergunta que não achei realmente natural, mas bastante divertida.

Examinei a parte de Ford-Ferkulson e acho que encontrei um gráfico que é um contra-exemplo e tem apenas uma aresta com capacidade irracional α (o gráfico pode funcionar para qualquer α).

Aqui está um PDF resumindo minha tentativa: https://louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf (desculpe, é um pouco lacônico no momento, mas não hesite em fazer perguntas)

Obviamente, o Ford-Felkurson nos permite escolher o caminho que melhoramos ... Não tenho certeza se isso seria possível para Edmond-Karp.