Problemas no PN, mas não no P-médio / poli

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O Theoem de Karp-Lipton afirma que se , então colapso em . Portanto, assumindo separações entre e , nenhum pertencerá a .P H Σ P 2 Σ P 2 Σ P 3 N P P / p o l yNPP/polyPHΣ2PΣ2PΣ3PNPP/poly

Estou interessado na seguinte pergunta:

Assumindo que não entrar em colapso, ou assumir qualquer outra hipótese razoável na complexidade estrutural, o hard-on-média problemas são comprovada a não mentir em (se houver)?N P A v e r a g e - P / p o l yPH NPAverage-P/poly

Uma definição de pode ser encontrada em Relações entre Complexidade Média e Máxima . Obrigado a Tsuyoshi por apontar que eu realmente preciso usar vez de .Average-P/polyP / p o l yAverage-P/polyP/poly

Eu acho que existem problemas como (as versões de decisão de) FACTORING ou DLOG que são conjecturados como , mas a conjectura não é comprovada com base em separações entre classes de complexidade. (Por favor me corrija se eu estiver errado.)NPAverage-P/poly

MS Dousti
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(1) Não creio que a suposição de que a hierarquia polinomial não entre em colapso implica a existência de um problema de média na NP. A Seção 18.4 de Arora e Barak afirma: “[…] mesmo sabendo que se P = NP, a hierarquia polinomial PH entra em colapso para P […], não temos um resultado análogo para a complexidade média dos casos.”
Tsuyoshi Ito
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(2) P / poly na questão é o habitual com pior complexidade, ou você está considerando um análogo de caso médio? Se for o pior dos casos, você precisará de DistP ≠ DistNP e NP⊈P / poly para ter esse problema e, se eles persistirem, todos os problemas com DistNP-completo satisfazem os requisitos, porque um problema com DistNP-completo é necessariamente NP-completo se jogarmos fora a distribuição de entrada.
Tsuyoshi Ito 23/02
@ Tsuyoshi: Muito obrigado. Você tem uma opinião sobre o P / poli do pior caso versus o caso médio. Pensando bem (sobre o problema original), acho que preciso interpretar P / poly como uma classe de caso médio .
MS Dousti
Li a revisão 3. Tautologicamente, esse problema existe se e somente se DistNP ⊈ Média-P / poli. E se DistNP ⊈ Média-P / poli, todos os problemas com DistNP-completo estão fora da Média-P / poli, porque a Média-P / poli é fechada sob reduções (entre problemas de distribuição). Mas talvez você esteja pedindo um problema mais natural sob uma suposição mais forte.
Tsuyoshi Ito
@ Tsuyoshi: Obrigado. Você poderia transformar os comentários em uma resposta para que eu possa aceitá-lo?
MS Dousti

Respostas:

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Esta é uma versão ligeiramente melhorada dos meus dois comentários sobre a questão juntos.

Vamos restringir nossa atenção aos problemas de distribuição no DistNP (aka (NP, P-computable)) para simplificar. Então você está procurando um problema no DistNP ∖ Média-P / poli. Tautologicamente, esse problema existe se, e somente se, DistNP ⊈ Média-P / poli. E se DistNP ⊈ Média-P / poli, todos os problemas com DistNP-completo estão fora da Média-P / poli, porque a Média-P / poli é fechada com reduções médias de casos.

(Considerando uma classe maior SampNP (aka (NP, P-samplable) ) em vez de DistNP não muda muito a situação porque DistNP ⊆ Média-P / poli se e somente se SampNP ⊆ Média-P / poli. Essa equivalência é direta corolário do resultado de Impagliazzo e Levin [IL90] de que todo problema de distribuição no SampNP é em média redutível a um problema de distribuição no DistNP.)

Não sei qual suposição natural implica DistNP ⊈ Média-P / poli. Sabe-se que a suposição de que a hierarquia polinomial não entra em colapso implica uma conseqüência ainda mais fraca que DistNP ⊈ Média-P, de acordo com a Seção 18.4 de Arora e Barak [AB09]: “[…] mesmo sabendo que se P = NP , então a hierarquia polinomial PH cai para P […], não temos um resultado análogo para a complexidade média dos casos. ”

Referências

[AB09] Sanjeev Arora e Boaz Barak. Complexidade Computacional: Uma Abordagem Moderna , Cambridge University Press, 2009.

Russell Impagliazzo e Leonid A. Levin. Não há maneiras melhores de gerar instâncias NP difíceis do que escolher uniformemente aleatoriamente. No 31º Simpósio Anual de Fundamentos da Ciência da Computação , 812–821, outubro de 1990. http://dx.doi.org/10.1109/FSCS.1990.89604

Tsuyoshi Ito
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