Conjunto de famílias que se cruzam em pares

Um conjunto de acertos de uma família $\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$ é um subconjunto $H$ de modo que para . O problema para encontrar um conjunto mínimo de acertos de uma determinada família é geralmente difícil para NP, pois generaliza o problema de cobertura de vértices. Agora minha pergunta é: H ∩ S i ≠ ∅ 1 ≤ i ≤ $\bigcup_{i=1}^{n} S_i$$H \cap S_i \ne \emptyset$$1 \le i \le n$

O problema do conjunto de batidas permanece NP-difícil quando os elementos de pares se cruzam?$\mathcal{S}$

Também estou interessado na dureza de aproximação (ou tratabilidade) desse problema.

$S_i$$e_i', e_i''$$S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$$S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

Em seguida, para cada par de conjuntos no novo sistema (vamos chamá-los de e para evitar confusão), crie um elemento falso e adicione-o a T_i e T_j . Claramente, no sistema de conjuntos resultante, todos os conjuntos se cruzam em pares, mas o conjunto ideal de batidas original ainda é o conjunto ideal de batidas para este sistema mais novo.$T_i$$T_j$$x_{ij}$$T_i$$T_j$

Sem mais restrições, o problema parece tão difícil quanto o problema original.

Aliás, provar que a solução ideal não usaria nenhum dos elementos falsos não é trivial. Primeiro, podemos assumir que um determinado conjunto de ocorrências para o novo sistema não inclui nenhum ou , pois, caso contrário, podemos mover os elementos para os elementos originais dos conjuntos e obter um conjunto de ocorrências de tamanho semelhante. É um pouco mais sutil ver por que os elementos não estão no conjunto ideal de acertos. Uma vez que é tedioso gostaria apenas de deixar uma dica: construir um gráfico que conecta dois conjuntos e no sistema original se conecta dois conjuntos que são derivados destes conjuntos. Argumente que este gráfico no conjunto mínimo de acertos deve ser e ″ i x i $e_i'$$e_i''$$x_{ij}$$S_i$$S_j$$x_{ij}$$3$regular e, como tal, o número de arestas excede estritamente o número de conjuntos presentes como vértices. Como tal, pode-se encontrar um conjunto de batidas menor para esses conjuntos.