Contexto.
Estou escrevendo sobre temas como o teorema Gottesman-Knill , utilizando grupos de estabilizador Pauli, mas no caso de d qudits dimensionais - onde d pode ter mais de um fator primordial. (Enfatizo isso porque a grande maioria da literatura sobre formalismo estabilizador em "dimensões mais altas" envolve os casos de d prime ou d uma potência principal e utiliza campos finitos; estou considerando os grupos cíclicos ℤ d .)
Para qualquer dimensão, caracterizo um grupo estabilizador (Pauli) como um subgrupo abeliano do grupo Pauli, no qual todo operador tem um espaço eigens +1 .
Estou escrevendo sobre um resultado que é bem conhecido por d = 2 (e facilmente generalizado para d prime):
Um grupo estabilizador estabiliza um estado puro exclusivo se e somente se for máximo
em que, por máxima, quero dizer que qualquer extensão está fora do grupo Pauli ou não é abeliana ou contém operadores sem valores próprios +1.
As provas de tais resultados para d prime geralmente dependem do fato de que d 2n é um espaço vetorial ( isto é, que d é um campo): isso não vale para d composto. Existem dois recursos: generalizar as provas existentes de maneira robusta à existência de divisores zero ( por exemplo, usando ferramentas como a forma normal de Smith ), ou evitar a teoria dos números completamente e usar idéias como as relações de ortogonalidade dos operadores Pauli.
Problema.
Na verdade, eu já tenho uma prova concisa desse resultado, essencialmente usando não mais do que relações de ortogonalidade dos operadores Pauli. Mas suspeito que já tenha visto algo assim antes e gostaria de me referir à arte anterior, se puder (para não mencionar se existem técnicas melhores do que a que usei, que, embora não onerosas, pareciam menos do que perfeitas )
Certamente os trabalhos de Knill [quant-ph / 9608048] e [quant-ph / 9608049] consideram assuntos semelhantes e usam técnicas semelhantes; mas não consegui encontrar o resultado que estava procurando lá ou no site de Gottesman [quant-ph / 9802007] . Espero que alguém possa me indicar onde essa prova poderia ter sido publicada antes.
Nota - o resultado que estou considerando não é aquele que relaciona a cardinalidade do grupo com a dimensão do espaço estabilizado (o que é bom, mas trivial tanto para provar quanto para encontrar referências); Preocupo-me especificamente em mostrar que qualquer grupo estabilizador que não possa ser estendido estabiliza um estado único e vice-versa. Uma referência a uma prova de que qualquer grupo estabilizador máximo tem a mesma cardinalidade seria bom; mas, novamente, ele não deve depender de d ser primo ou d 2n ser um espaço vetorial.
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